Séries numériques
Séries numériques : critères de convergence et méthodes de calcul
1
Sommes partielles et convergence
Définition
Une série est la somme formelle d’une suite (u_n).
- ==S_n = u_0 + \cdots + u_n==.
- La série converge si
(S_n)admet une limite finie. - La somme de la série est cette limite.
Réflexes de base
- Toujours étudier d’abord les termes
u_n. - Comparer ensuite le comportement de
(S_n).
2
Calculs explicites
Séries géométriques
Si , la série géométrique converge et sa somme vaut . Vérifie toujours cette condition avant d’appliquer la formule.
Télescopage
- 1
Écrire
u_ncommev_n-v_{n+1}. - 2
Former la somme partielle
S_n.
Mini-idée
Géométrique : rapport constant. Télescopage : tout s’annule sauf les bords.
3
Comparaison
Principe
Si `0 \le u_n \le v_n`
- Et
\sum v_nconverge. - Alors
\sum u_nconverge.
Si `u_n \ge v_n \ge 0`
- Et
\sum v_ndiverge. - Alors
\sum u_ndiverge.
Références utiles
| Série | Convergence |
|---|---|
\sum 1/n^\alpha | Converge si \alpha>1. |
\sum 1/n^\alpha | Diverge si \alpha\le 1. |
Mémo
Petit sous une convergente, grand au-dessus d’une divergente.
4
Critères au programme
Critères clés
- Séries de Riemann :
\sum 1/n^\alpha. - Convergence absolue
\Rightarrowconvergence. - Série alternée : décroissance et
u_n\to 0.
À éviter
- Vrai ou faux :
u_n\to 0suffit toujours. - Vrai ou faux : une série alternée converge sans hypothèse supplémentaire.
Synthèse
Conclusion
- Partir des sommes partielles.
- Repérer une géométrique ou un télescopage.
- Comparer à une série de référence.
- Appliquer le critère adapté au signe des termes.