Quelle différence entre loi et fonction de répartition ?

La loi donne les probabilités des valeurs possibles de la variable aléatoire. La fonction de répartition donne, pour tout réel $x$, la probabilité $\mathbb{P}(X\le x)$.

Quelle relation relie variance et espérance ?

On utilise $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$. Cette formule est centrale pour les calculs de variance en variables discrètes.

Quand peut-on additionner les espérances ?

Pour deux variables aléatoires quelconques, on a toujours $\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)$. Cette propriété ne demande pas l’indépendance.

EduFiche peut-il générer ce type de fiche sur un autre cours ?

Oui. EduFiche peut générer ce type de fiche visuelle, avec quiz et flashcards, sur n’importe quel cours ou sujet, en adaptant le niveau et le programme.

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🎲CPGE ECG · Mathématiques

Fiche de révision : Variables aléatoires discrètes en CPGE ECG

Cette fiche de révision résume les notions essentielles sur les variables aléatoires discrètes en CPGE ECG. Tu y trouves les définitions à connaître, les formules utiles, les propriétés de la fonction de répartition, de l’espérance, de la variance, de la covariance et de l’indépendance, ainsi que les lois usuelles à maîtriser.

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La fiche

Tout le chapitre sur une fiche visuelle

Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires discrètes servent à modéliser des phénomènes prenant un nombre dénombrable de valeurs. Cette fiche rassemble les outils indispensables de calcul et de comparaison : loi, fonction de répartition, espérance

Loi et support

Définition

Une variable aléatoire discrète prend un nombre dénombrable de valeurs, chacune de probabilité positive ou nulle.

Loi de probabilité

Valeur	Probabilité
x_i	P(X=x_i)
x_j	P(X=x_j)
...	...

Fonction de répartition

Définition et lecture

F(x)=P(X\le x)

La fonction de répartition est croissante, continue à droite, et ses sauts donnent les probabilités de la loi.

À retenir

!!En discret, F est une fonction en paliers.
P(X=x)=F(x)-\lim_{t\to x^-}F(t).

Espérance et variance

Formules

E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)\quad\text{et}\quad V(X)=E(X^2)-E(X)^2

L'espérance est une moyenne pondérée, et la variance mesure la dispersion autour de E(X).

Rappels de calcul

1
Calculer E(X) par somme pondérée des valeurs.
2
Calculer E(X^2) de la même manière.

Covariance et indépendance

Lien entre deux variables

\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

La covariance mesure une liaison linéaire entre X et Y.

Indépendance

Si X et Y sont indépendantes

La loi conjointe se factorise.
Cov(X,Y)=0.

Attention

Cov(X,Y)=0 n'implique pas toujours l'indépendance.
!!Indépendance et absence de corrélation ne sont pas équivalentes.

Lois usuelles

Repères essentiels

Loi	Paramètre(s)	Sens
Bernoulli	p	Succès ou échec
Binomiale	n, p	Nombre de succès
Géométrique	p	Rang du premier succès

Mémo

B-B-G-U : Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Uniforme. Associer chaque loi à son support avant de calculer.

Pratique

Écrire la loi d'une variable discrète à partir d'un tableau.
Lire une probabilité sur une fonction de répartition.

Synthèse

La loi décrit toutes les probabilités d'une variable discrète.
La fonction de répartition permet de retrouver ces probabilités.
Espérance, variance et covariance quantifient position, dispersion et liaison.
L'indépendance simplifie les calculs, surtout avec les lois usuelles.

Ton cours, ta fiche

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1. Quelle expression définit la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète

X

2. Si

X

suit une loi de Bernoulli de paramètre

p

, quelle est son espérance ?

3. Quelle formule est correcte pour la covariance de deux variables aléatoires

X

Y

4. Quelle propriété est toujours vraie si

X

Y

sont indépendantes ?

Le coin du pote

3 astuces pour gagner des points au bac

Commence toujours par identifier le support de la variable aléatoire et les probabilités associées.

Pour calculer une espérance ou une variance, écris d’abord la loi de $X$ sous forme de tableau clair.

Ne confonds pas indépendance et absence de covariance : l’indépendance implique covariance nulle, mais la réciproque n’est pas vraie en général.

Questions fréquentes sur variables aléatoires discrètes

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