Binaire et algèbre de Boole
Cette fiche résume les bases indispensables pour manipuler l’information en informatique : représenter les nombres en binaire, convertir entre bases, effectuer des opérations binaires, et raisonner avec les variables booléennes. Elle relie
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Bases de numération
Écriture positionnelle
Un nombre s’écrit comme somme de chiffres pondérés par des puissances de la base.
- En base 2, les chiffres sont 0 et 1.
- En base 10, les chiffres vont de 0 à 9.
Repères utiles
| Base | Chiffres | Usage |
|---|---|---|
| 2 | 0, 1 | Binaire |
| 10 | 0 à 9 | Décimal |
| n | 0 à n−1 | Base générale |
2
Conversions entre bases
Du binaire au décimal
On multiplie chaque bit par son poids, puis on additionne les résultats.
Du décimal au binaire
- 1
Diviser le nombre par 2.
- 2
Noter le reste à chaque division.
Mémo
Diviser pour monter, pondérer pour redescendre. Lire les bits dans le mauvais ordre est une erreur fréquente.
3
Opérations binaires
Addition binaire
Sans retenue
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
Avec retenue
- 1 + 1 = 10
- 1 + 1 + 1 = 11
Mini-défi
Calculer 1011_2 + 0110_2.
- On additionne colonne par colonne en base 2.
- On reporte une retenue quand la somme vaut 2 ou 3.
- On vérifie le résultat par conversion si besoin.
1011_2 + 0110_2 = 10001_2.
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Booléens et portes logiques
Variables et opérateurs
- Variable booléenne
- Variable prenant deux valeurs : vrai ou faux.
- ET
- Vrai seulement si toutes les entrées sont vraies.
- OU
- Vrai si au moins une entrée est vraie.
Comparaison logique
ET
- Exige toutes les conditions.
- Donne faux dès qu’une entrée est fausse.
OU
- Exige au moins une condition.
- Donne vrai dès qu’une entrée est vraie.
Portes logiques
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Tables de vérité
Construire la table
- 1
Lister toutes les combinaisons d’entrées.
- 2
Calculer la sortie pour chaque ligne.
Exemple de lecture
| A | B | A ET B | A OU B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
À retenir
Synthèse
- Le binaire repose sur une écriture positionnelle en base 2.
- Les conversions utilisent la pondération ou les divisions successives par 2.
- L’addition binaire gère des retenues.
- Les variables booléennes ont deux états.