Circuits du premier ordre
Les circuits du premier ordre se décrivent par une seule équation différentielle, surtout en RC et RL.
1
Cadre général
Un circuit du premier ordre est régi par une seule variable d’état.
- Montages typiques : RC et RL.
- L’étude commence après une commutation.
- Le comportement passe du transitoire au permanent.
- RC : la tension du condensateur est centrale.
- RL : le courant de l’inductance est central.
2
Lois de Kirchhoff et modélisation
Montage RC
- Variable naturelle : tension du condensateur.
- Relation : i = C dv/dt.
- Charge ou décharge selon la commutation.
Montage RL
- Variable naturelle : courant de l’inductance.
- Relation : v = L di/dt.
- Établissement ou extinction du courant.
Les lois des mailles et des nœuds relient les éléments du circuit à l’équation différentielle.
- 1
Écrire la maille ou le nœud.
- 2
Remplacer condensateur ou inductance.
3
Régime transitoire et constante de temps
La solution relie l’état initial, la valeur finale et la constante de temps.
\tau est une échelle de temps, pas un arrêt brutal.
| Instant | Lecture physique |
|---|---|
| t = 0^+ | L’état initial impose le départ. |
| t = \tau | L’évolution est déjà bien engagée. |
| t \gg \tau | Le régime permanent est presque |
4
Conditions initiales
- La grandeur d’état ne saute pas instantanément.
- La tension du condensateur est continue.
Dans un RC, on cherche la tension du condensateur après la commutation.
- On identifie la tension du condensateur comme variable d’état.
- On applique la continuité de la tension au moment de la commutation.
La tension évolue selon une loi exponentielle fixée par l’état initial et la constante de temps.
5
Révision express
- Quelle grandeur est continue dans un condensateur ?
- Quelle grandeur est continue dans une inductance ?
- Quel type d’équation décrit un circuit du premier ordre ?
- Kirchhoff mène à une équation différentielle simple.
- RC et RL suivent la même logique temporelle.