Théorie des jeux et équilibre de Nash
La théorie des jeux étudie les décisions interdépendantes et leurs issues stables ou inefficaces.
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Cadre de base
Jeu stratégique
Un jeu stratégique relie des joueurs, leurs stratégies et les gains obtenus.
- Les joueurs choisissent une action.
- Chaque stratégie mène à un gain.
- La combinaison des choix détermine l’issue.
Repères
- Joueurs : décideurs de la situation.
- Stratégies : actions possibles de chaque joueur.
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Comparer les stratégies
Logique de comparaison
Meilleure réponse
- Maximise le gain face aux choix des autres.
- Dépend du contexte stratégique.
- Peut changer selon l’adversaire.
Stratégie dominante
- Reste la meilleure quel que soit l’adversaire.
- Ne dépend pas des choix des autres.
- Simplifie l’analyse quand elle existe.
Attention
Meilleure réponse ne veut pas dire stratégie dominante. Ne confonds pas avantage ponctuel et supériorité partout.
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Équilibre de Nash
Définition
L’équilibre de Nash est une situation où aucun joueur n’a intérêt à dévier seul.
- Chaque stratégie est une meilleure réponse.
- La stabilité est individuelle.
- L’efficacité collective peut être absente.
Forme condensée
Pour chaque joueur i, la stratégie s_i^* reste optimale si les autres gardent s_{-i}^*.
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Du concept au tableau
Matrice de gains
| Lecture | Ce qu’on vérifie | Conclusion |
|---|---|---|
| Chaque case | Les gains de chaque joueur | Comparer les réponses |
| Chaque ligne | La stratégie d’un joueur | Repérer une meilleure réponse |
| Chaque colonne | La stratégie adverse | Tester la dominance |
| Toutes les cases | Les déviations possibles | Identifier Nash |
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Cas classique
Dilemme du prisonnier
Deux suspects choisissent simultanément de coopérer ou de trahir.
- Supposons des gains standard où trahir domine coopérer.
- Chaque joueur compare ses gains sans connaître le choix de l’autre.
- La trahison devient la meilleure réponse dans tous les cas.
L’équilibre de Nash existe, mais il est souvent inefficace collectivement.
À retenir
- Les choix sont simultanés.
- La dominance peut conduire à l’équilibre.
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Réviser en actif
Mini-entraînement
- Définis un joueur et une stratégie.
- Différencie meilleure réponse et stratégie dominante.
- Explique pourquoi un équilibre de Nash est stable.
- Pourquoi le dilemme du prisonnier est-il paradoxal ?