Équations différentielles d'ordre 2
Cette fiche résume la méthode de résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.
1
Forme générale
Structure
Une équation linéaire du second ordre s’écrit y'' + ay' + by = f(x).
- Homogène si f(x)=0.
- !!Toujours mettre sous forme standard avant de commencer.
- Deux constantes apparaissent dans la solution générale.
Repérage
- Termes en y'', y', y présents.
- Second membre éventuel à droite.
2
Caractéristique
Passage algébrique
On cherche une solution de la forme y=e^{rx}, puis on remplace dans l’équation homogène.
Idée clé
- 1
Poser y=e^{rx}.
- 2
Calculer y' et y''.
3
Cas de racines
Comparaison des trois formes
Racines réelles distinctes
- y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.
- Deux exponentielles indépendantes.
Racine double et complexes
- Racine double : y=(C_1+C_2x)e^{rx}.
- Racines complexes : .
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