Suites et séries de fonctions
Suite et séries de fonctions, convergence simple, uniforme et normale.
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Repères de convergence
Suites de fonctions
Convergence simple
- Pour tout x fixé, fn(x) converge.
- Le contrôle est point par point.
- Aucune uniformité n'est exigée
Convergence uniforme
- Le même rang marche pour tous les x.
- L'erreur maximale devient petite.
- C'est un contrôle global
Séries de fonctions
Une série de fonctions est étudiée via ses sommes partielles.
- On considère S_n = \sum_{k=0}^{n} f_k.
- La convergence de la série est celle de S_n.
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Convergence normale
Critère de Weierstrass
Si la série numérique de majorants converge, alors la série de fonctions converge normalement.
Idée clé
Un majorant sommable rassure toute la série.
Comparaison
Convergence normale
- On majore chaque terme par M_n.
- Le majorant ne dépend pas de x.
- Elle implique souvent la convergence uniforme.
Convergence uniforme
- On contrôle directement les sommes partielles.
- Le contrôle est global sur l'ensemble.
- Elle suffit pour plusieurs passages à la limite.
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Continuité
Passage à la limite
À retenir
- La limite uniforme de fonctions continues est continue.
- Une somme uniforme de fonctions continues reste continue.
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Intégration et dérivation terme à terme
Processus
- 1
Vérifier les hypothèses de convergence.
- 2
Contrôler la continuité ou la régularité terme à terme.
Exemple guidé
Sur un intervalle où la convergence uniforme est établie, que devient une série de fonctions continues ?
- Les sommes partielles sont continues.
- La convergence uniforme permet de passer à la limite.
- La fonction somme est donc continue.
La continuité est conservée sur l'intervalle considéré.
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Méthodes express
Pièges fréquents
- La convergence simple suffit toujours pour la continuité.
- Le critère de Weierstrass utilise un majorant indépendant de x.
Vocabulaire
- sommes partielles
- Suites des sommes finies associées à une série.
- convergence uniforme
- Convergence contrôlée simultanément sur tout l'ensemble.
- convergence normale
- Convergence dominée par une série numérique sommable.
Résumé
- La convergence simple est point par point.
- La convergence uniforme donne un contrôle global.