Loi normale
Loi normale
Variable continue
Définition
Une variable aléatoire continue prend des valeurs dans un intervalle.
- Probabilité d'un point : 0.
- Les probabilités se lisent sur des intervalles.
- La densité est toujours positive.
À retenir
- Continue signifie valeurs dans un intervalle.
- !!P(X=a) est nulle pour une variable continue.
Loi normale
Forme et paramètres
Moyenne bc
- Centre la courbe.
- Place le sommet au milieu.
- Fixe la position horizontale.
Écart-type c3
- Règle l'étalement.
- Courbe plus ou moins serrée.
- Mesure la dispersion.
Notation
La loi normale est définie par une moyenne \mu et un écart-type \sigma.
Image mentale
Pense à une cloche symétrique : \mu la centre, \sigma l'ouvre ou la resserre.
Probabilités
Règle d'aire
La probabilité d'un intervalle correspond à l'aire de densité sous la courbe.
Cas fréquents
- Un intervalle centré sur \mu simplifie la lecture.
- La symétrie autour de \mu aide à comparer deux aires.
Pièges
- !!Chercher une probabilité d'égalité exacte.
- !!Confondre valeur et aire sous la courbe.
Centrage-réduction
Variable réduite
On soustrait la moyenne, puis on divise par l'écart-type.
Propriété
La variable centrée-réduite suit la loi normale centrée réduite.
Mémo
Centrer puis réduire : soustraire, diviser, standardiser.
Calcul et lecture
Procédure
- 1
Identifier \mu, \sigma et l'intervalle demandé.
- 2
Transformer avec Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Exemple guidé
On modélise X par une loi normale de moyenne \mu et d'écart-type \sigma. On cherche une probabilité sur un intervalle.
- On repère les paramètres \mu et \sigma.
- On transforme l'intervalle en valeurs de Z.
- On utilise la loi N(0\,;\,1) pour obtenir l'aire.
La probabilité cherchée est une aire d'intervalle, donc une interprétation de densité.
Applications
Usages
- Modéliser des phénomènes autour d'une moyenne.
- Estimer des fréquences ou des pourcentages.
- Comparer une valeur à la moyenne.
Bilan
- Variable continue et densité.
- Courbe en cloche paramétrée par \mu et \sigma.