Matrices
Les matrices organisent les calculs, modélisent des systèmes et décrivent des graphes.
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Lire et manipuler une matrice
Définition
Une matrice est un tableau de nombres organisé en lignes et colonnes.
- Le coefficient s'écrit aij.
- Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes.
- La matrice nulle a tous ses coefficients égaux à 0.
Opérations de base
- Même dimension obligatoire pour additionner ou soustraire.
- La multiplication par un scalaire se fait terme à terme.
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Produit et matrices particulières
Produit matriciel
Le coefficient du produit se lit ligne de A puis colonne de B.
Matrices particulières
Matrice identité
- Notée I.
- Joue le rôle de 1.
- IA=A et AI=A.
Inverse
- Notée A^{-1} si elle existe.
- Vérifie AA^{-1}=I.
- Ne pas supposer l'inverse automatique.
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Puissances
Idée clé
- 1
On exige une matrice carrée.
- 2
A^2 signifie A multipliée par elle-même.
- 3
A^n se construit par multiplications successives.
Mini-défi
Avant de calculer, vérifie toujours que les dimensions du produit sont compatibles.
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Systèmes linéaires
Écriture matricielle
Résoudre avec l'inverse
Résoudre le système matriciel AX=B quand A^{-1} existe.
- Multiplier les deux membres à gauche par A^{-1}.
- Obtenir A^{-1}AX=A^{-1}B.
- Utiliser A^{-1}A=I.
- Conclusion : X=A^{-1}B.
La résolution devient directe dès que l'inverse existe.
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Graphes et lecture globale
Modélisation
| Objet | Rôle de la matrice |
|---|---|
| Sommets | Organisation des éléments du graphe. |
| Liens | Coefficients liés aux connexions. |
| Chemins | Puissances pour compter des parcours. |
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S'entraîner
Vrai ou faux
- On peut additionner deux matrices de tailles différentes.
- Le produit matriciel est commutatif en général.
- Une matrice carrée peut avoir des puissances.
À retenir
- Une matrice se lit d'abord par sa dimension.
- L'identité joue le rôle de neutre.