Nombres complexes
Lecture rapide des écritures, du module, de l’argument et des liens géométriques.
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Écriture et représentation
Forme algébrique
Un complexe s’écrit ==z = a + ib== avec a réel et b réel.
i² = -1- Re(z) = a et Im(z) = b.
Plan complexe
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Module et argument
Définition
Module
- Distance de z à l’origine.
- Toujours positif ou nul.
- |z| = sqrt(a² + b²).
Argument
- Angle orienté de la direction de z.
- Défini modulo 2π.
- Repère la direction dans le plan.
Formule essentielle
Le module mesure la distance du point d’affixe z à l’origine.
Mémo
==Module = distance, argument = direction==. L’argument n’est pas unique, il est défini modulo 2π.
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Formes trigonométrique et exponentielle
Écritures
| Forme | Écriture | Idée |
|---|---|---|
| Trigonométrique | r(cos θ + i sin θ) | Lire le module et l’angle. |
| Exponentielle | re^{iθ} | Écriture compacte pour calculer. |
Règles de calcul
- 1
Écrire les nombres sous forme trigonométrique ou exponentielle.
- 2
Multiplier les modules.
Lien fondamental
Cette identité relie directement la forme exponentielle à la forme trigonométrique.
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Équations et géométrie
Interprétations géométriques
Méthode
On considère z = 1 + i. Calculer son module et dire ce qu’il représente géométriquement.
- On reconnaît a = 1 et b = 1 dans z = a + ib.
- On applique |z| = sqrt(a² + b²).
- On obtient |z| = sqrt(1² + 1²) = sqrt(2).
- Le module est la distance du point d’affixe z à l’origine.
Le module vaut sqrt(2), et il mesure la distance à l’origine.
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Révision active
Questions rapides
- Donner la forme algébrique de z avec partie réelle a et partie imaginaire b.
- Écrire la formule du module d’un complexe.
- Dire ce que représente géométriquement |z-a| = r.
Essentiel à retenir
- La forme algébrique sert au calcul direct.
- Le module donne une distance.