Fiche de Révision : Ensembles de Nombres, Valeur Absolue, Intervalles et Opérations

1. Ensembles de Nombres

Les ensembles de nombres sont des collections bien définies de nombres qui partagent certaines propriétés. Ils sont fondamentaux en mathématiques et servent à classer les différents types de nombres.

1.1 Ensembles de base

• [Formule]** - Nombres Naturels**
  **Ensemble des nombres entiers positifs ou nuls : ** [Formule mathématique]
• [Formule]** - Nombres Entiers Relatifs**
  **Ensemble des entiers positifs, négatifs et zéro : ** [Formule mathématique]
• [Formule]** - Nombres Rationnels**
  **Ensemble des nombres pouvant s’écrire comme un quotient de deux entiers (avec dénominateur non nul) : ** [Formule mathématique]
• [Formule]** - Nombres Réels**
  **Ensemble des nombres rationnels et irrationnels (tous les nombres sur la droite numérique) : ** [Formule mathématique]
• [Formule]** - Nombres Complexes**
  **Ensemble des nombres de la forme **[Formule], où [Formule] et [Formule].

1.2 Relations entre ensembles

[Formule mathématique]

2. Valeur Absolue

2.1 Définition

La valeur absolue d’un nombre réel [Formule], notée [Formule], mesure la distance entre [Formule] et 0 sur la droite réelle. Elle est toujours positive ou nulle.

[Formule mathématique]

2.2 Propriétés

• Positivité : [Formule]
• Symétrie : [Formule]
• Multiplicativité : [Formule]
• Inégalité triangulaire :
  [Formule mathématique]

2.3 Exemples

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

3. Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, qui peuvent être incluses ou non.

3.1 Types d’intervalles

• Intervalle fermé [Formule] : comprend [Formule] et [Formule].
  [Formule mathématique]
• Intervalle ouvert [Formule] : ne comprend pas [Formule] ni [Formule].
  [Formule mathématique]
• Intervalle semi-ouvert ou semi-fermé :
  • [Formule] : comprend [Formule] mais pas [Formule]
  • [Formule] : comprend [Formule] mais pas [Formule]
• Intervalles infinis :
  • [Formule]
  • [Formule]

3.2 Notation et représentation

• Sur une droite numérique, les crochets [Formule] et [Formule] indiquent une borne incluse, les parenthèses [Formule] une borne exclue.
• Exemple :
  [Formule] comprend tous les réels [Formule] tels que [Formule].

4. Opérations avec les Ensembles de Nombres et Intervalles

4.1 Opérations sur les nombres

• Addition, soustraction, multiplication, division (sauf division par zéro) sont définies pour [Formule] et [Formule].
• Les opérations sur [Formule] respectent les propriétés d’anneaux ou corps (rationnels).

4.2 Opérations sur les intervalles

Soient deux intervalles [Formule] et [Formule], on peut définir :

• Union : [Formule] est l’ensemble des [Formule] appartenant à [Formule] ou [Formule].
• Intersection : [Formule] est l’ensemble des [Formule] appartenant à la fois à [Formule] et [Formule].
• Différence : [Formule] est l’ensemble des [Formule] appartenant à [Formule] mais pas à [Formule].

Exemples

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

5. Résolution d’inégalités avec valeur absolue

5.1 Inégalité de base

[Formule mathématique]

avec [Formule].

5.2 Exemples

• Résoudre [Formule]
  [Formule mathématique]
• Résoudre [Formule]
  [Formule mathématique] [Formule mathématique] [Formule mathématique]

6. Représentation graphique

6.1 Ensemble des nombres sur la droite réelle

[Diagramme]

6.2 Intervalles sur une droite

[Diagramme]

7. Synthèse : liens entre concepts

• Les ensembles de nombres classent les types de nombres que l’on utilise.
• La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro, et sert à résoudre des inégalités.
• Les intervalles sont des sous-ensembles de [Formule], pratiques pour exprimer des solutions d’inégalités.
• Les opérations s’appliquent à la fois aux nombres et aux ensembles (union, intersection, différence).

Citation clé :
« La valeur absolue exprime la distance, les intervalles encadrent les solutions, et les ensembles organisent les nombres. »

Résumé rapide

Cette fiche vous permettra de mieux comprendre et manipuler les notions clés liées aux ensembles de nombres, à la valeur absolue, aux intervalles et aux opérations sur ces objets mathématiques fondamentaux.