Fiche de Révision : Théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore est l’un des résultats fondamentaux en géométrie euclidienne. Il relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle et est à la base de nombreuses applications en mathématiques, physique, ingénierie, et autres domaines. Cette fiche propose une étude complète du théorème, ses démonstrations, applications et extensions.

1. Énoncé du Théorème de Pythagore

1.1. Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de [Formule].

Si l’on note :

• [Formule] et [Formule] les longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit (les cathètes),
• [Formule] la longueur du côté opposé à l’angle droit (l’hypoténuse),

alors :

1.2. Énoncé classique

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des cathètes.

Formellement, cela s’écrit :

[Formule mathématique]

2. Compréhension Géométrique

2.1. Illustration

Pour mieux comprendre, on peut représenter un triangle rectangle avec ses côtés :

[Diagramme]

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

2.2. Interprétation

Les aires des carrés construits sur chaque côté permettent de visualiser le théorème :

• Aire du carré sur l’hypoténuse = [Formule]
• Somme des aires des carrés sur les cathètes = [Formule]

3. Démonstrations du Théorème

Il existe plusieurs démonstrations, certaines géométriques, d'autres algébriques ou trigonométriques.

3.1. Démonstration géométrique classique (par découpage)

• Construire un carré de côté [Formule].
• À l’intérieur, placer quatre triangles rectangles identiques de côtés [Formule].
• On obtient deux zones : un petit carré de côté [Formule] et une zone restante formée par les carrés des cathètes.

Cela montre que :

[Formule mathématique]

Ce qui revient à :

[Formule mathématique]

3.2. Démonstration algébrique (coordonnées)

• Placer le triangle dans un repère orthonormé avec l’angle droit à l’origine.
• Les cathètes sont sur les axes [Formule] et [Formule].
• Les points sont [Formule], [Formule], [Formule].
• La distance [Formule] est :

[Formule mathématique]

D’où :

[Formule mathématique]

4. Applications du Théorème de Pythagore

4.1. Calcul de longueurs inconnues

Dans un triangle rectangle, si deux longueurs sont connues, on peut calculer la troisième.

Exemple :

Un triangle a des cathètes de longueurs [Formule] cm et [Formule] cm. Trouver l’hypoténuse.

[Formule mathématique]

4.2. Vérification d’un triangle rectangle

Si on connaît les trois côtés d’un triangle, on peut vérifier s’il est rectangle.

Exemple :

Un triangle a des côtés [Formule] cm, [Formule] cm, et [Formule] cm.

Vérifier si :

[Formule mathématique]

Donc, le triangle est rectangle.

4.3. Distance dans le plan

Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance entre deux points dans un plan cartésien.

Si [Formule] et [Formule], alors :

[Formule mathématique]

5. Extensions et Généralisation

5.1. Théorème de la médiane sur l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse.

5.2. Théorème d’Al-Kashi (généralisation)

Pour un triangle quelconque de côtés [Formule], avec l’angle [Formule] opposé au côté [Formule] :

[Formule mathématique]

Le théorème de Pythagore est un cas particulier quand [Formule] donc [Formule].

6. Exercices Typiques

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, les cathètes mesurent 6 cm et 8 cm. Calculer la longueur de l’hypoténuse.

Solution :

[Formule mathématique]

Exercice 2

Un triangle a pour côtés [Formule] cm, [Formule] cm, et [Formule] cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Solution :

Vérifions si :

[Formule mathématique]

Oui, le triangle est rectangle.

Exercice 3

Calculer la distance entre les points [Formule] et [Formule].

Solution :

[Formule mathématique]

7. Résumé et Remarques Importantes

• Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans les triangles rectangles.
• Il permet de relier les longueurs des côtés et facilite le calcul de distances dans le plan.
• C’est une base pour la trigonométrie et la géométrie analytique.
• Sa généralisation est le théorème d’Al-Kashi (cosinus).

8. Diagramme Résumant la Méthode d’Application

[Diagramme]

9. Citation Importante

"Le théorème de Pythagore est le premier pont entre la géométrie et l'algèbre."

Cette fiche vous permet d’avoir une compréhension approfondie et complète du théorème de Pythagore, de ses démonstrations à ses applications pratiques. N’hésitez pas à refaire les exercices pour vous entraîner à son utilisation.