Diagonalisation
La diagonalisation simplifie l’étude d’un endomorphisme en base propre.
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Valeurs propres et vecteurs propres
Définitions essentielles
Av = λv caractérise un vecteur propre non nul associé à la valeur propre λ.
Repères de base
- λ est une valeur propre, v est un vecteur propre associé.
- Un vecteur propre n’est jamais nul.
Piège classique
Ne confonds pas la valeur propre λ et le vecteur propre v.
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Polynôme caractéristique
Formule clé
Les valeurs propres de A sont exactement les racines de p_A. Le degré est n en dimension n.
À retenir
- Le polynôme caractéristique donne les candidats valeurs propres.
- !!Une racine ne suffit pas à conclure à la diagonalisation.
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Conditions de diagonalisation
Critère central
A est diagonalisable si
- Elle admet une base de vecteurs propres.
- La somme des dimensions des espaces propres vaut n.
- Les multiplicités géométriques couvrent la dimension totale.
Indices favorables
- n valeurs propres distinctes.
- Vérification séparée de chaque espace propre.
Défi mémoire
Pour diagonaliser, il faut assez de vecteurs propres pour faire une base.
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Matrice de passage et formule
Schéma d’ensemble
Formule de diagonalisation
Les colonnes de P sont une base de vecteurs propres, et D contient les valeurs propres sur la diagonale.
Point de vigilance
P est inversible seulement si ses colonnes forment une base.
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Puissances de matrice
Calcul utile
La puissance se calcule sur la diagonale terme à terme, puis on revient à la base initiale.
Utilisations
- Calcul rapide de A^n.
- Résolution de récurrences linéaires.
Résumé final
- Valeurs propres et vecteurs propres structurent la diagonalisation.
- p_A(X) fournit les valeurs propres candidates.