Équations différentielles linéaires
Équations différentielles linéaires : reconnaître l’ordre, résoudre l’homogène, ajouter une particulière, puis imposer les conditions initiales.
Reconnaître une équation
Définition
Une équation différentielle linéaire relie y et ses dérivées à la puissance 1.
- Ordre = dérivée de plus haut rang présente.
- Premier ordre : présence de
y'seulement. - Second ordre : présence de
y''.
Points clés
- Forme typique : y' + a(x)y = b(x).
- Second ordre : y'' + ay' + by = f(x).
Premier ordre homogène
Formule
On isole y'/y, puis on intègre pour obtenir la solution générale.
Méthode
- 1
Écrire y'/y = -a(x).
- 2
Intégrer des deux côtés.
Mémo
Homogène du premier ordre : une constante multiplicative suffit après intégration.
Second ordre et superposition
Comparaison
Homogène
- Second membre nul.
- Solution générale = combinaison de deux solutions indépendantes.
- Deux constantes arbitraires.
Non homogène
- Second membre non nul.
- Solution = homogène + particulière.
- Deux constantes encore, puis conditions initiales.
Principe
Idée essentielle
- Si y1 et y2 résolvent l’homogène, alors y1 + y2 aussi.
- Toute combinaison linéaire reste solution.
Solution particulière
Formule
La solution générale d’une équation non homogène est la somme d’une homogène et d’une particulière.
Méthode pratique
- 1
Résoudre d’abord l’équation homogène.
- 2
Chercher une solution particulière adaptée à f(x).
Piège
Ne confonds pas solution particulière et solution générale.
Conditions initiales
Processus
- 1
Écrire la solution générale.
- 2
Utiliser y(x0) pour fixer une constante.
Travail guidé
Résoudre y'' - y = 0 avec y(0)=1 et y'(0)=0.
- L’équation est linéaire homogène du second ordre.
- La solution générale s’écrit y(x)=Ae^x+Be^{-x}.
- La condition y(0)=1 donne A+B=1.
La solution vérifiant les conditions initiales est y(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.
Révision express
Vocabulaire
- homogène
- Second membre nul.
- particulière
- Une solution adaptée au second membre.
- superposition
- Somme de solutions encore solution en linéaire.
Vérifie-toi
- Comment reconnaît-on l’ordre d’une équation différentielle ?
- Quelle est la forme générale d’une solution non homogène ?
Résumé
- Reconnaître l’ordre et la linéarité.
- Résoudre l’homogène en premier.