Espaces vectoriels et applications lineaires
Révision compacte des notions clés d’algèbre linéaire en CPGE scientifique.
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Sous-espaces vectoriels
Reconnaître un sous-espace
Un sous-espace est une partie stable par addition et par produit scalaire.
- Il contient le vecteur nul.
- Il est stable par somme.
Opérations utiles
Intersection
- Toujours un sous-espace.
- Garde les vecteurs communs.
- Sert à imposer plusieurs contraintes.
Somme
- Tous les vecteurs u+v.
- Peut être directe ou non.
- Décompose un vecteur en deux parts.
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Familles et bases
Liberté et génération
Famille libre
- Aucune relation linéaire non triviale.
- On teste souvent par un système.
- Mémo : des coefficients tous nuls.
Famille génératrice
- Tout vecteur s’écrit en combinaison.
- Elle couvre tout l’espace.
- Piège : génératrice ne veut pas dire libre.
Base et dimension
Une base est une famille libre et génératrice.
- Les coordonnées d’un vecteur y sont uniques.
- La dimension est le nombre d’éléments d’une base.
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Somme et rang
Formule de dimension
Elle relie somme, intersection et dimensions connues pour calculer l’inconnue.
Noyau, image, rang
| Objet | Rôle |
|---|---|
| Ker f | Vecteurs envoyés sur 0. |
| Im f | Vecteurs atteignables par f. |
| rg f | Dimension de l’image. |
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Applications linéaires
Définition et effets
- f(u+v)=f(u)+f(v).
- f(\lambda u)=\lambda f(u).
Noyau et image
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Matrices et théorème du rang
Matrice d’une application
- 1
Choisir une base de départ.
- 2
Écrire les images des vecteurs de base.
- 3
Placer ces coordonnées en colonnes.
Théorème du rang
Le domaine se décompose en partie annulée et partie atteinte.
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Entraînement express
Mini-pratique
- Vérifie qu’un ensemble contenant 0 et stable est un sous-espace.
- Dis si une famille génératrice est forcément libre.
- Relie rang, image et dimension du noyau.
À retenir
- Les sous-espaces se reconnaissent par stabilité.
- Les bases donnent des coordonnées uniques.