Corrélation et régression linéaire
Analyse des relations entre deux variables quantitatives
Visualisation et liaison linéaire
Le nuage de points représente graphiquement la relation entre X et Y.
La covariance mesure le sens de la liaison linéaire. Positive si X et Y varient dans le même sens.
Covariance nulle ≠ indépendance : elle indique seulement l’absence de liaison linéaire.
Mesure normalisée de la corrélation
Le coefficient de Pearson (r) mesure la force et le sens de la liaison linéaire.
- r ∈ [-1 ; 1]
- r = 1 ou -1 : liaison linéaire parfaite
- r ≈ 0 : absence de liaison linéaire
Sans unité, invariant par changement d’échelle.
Modélisation par régression linéaire
La droite de régression minimise la somme des carrés des écarts.
La pente (a) est calculée par r × (σ_Y / σ_X).
- L’ordonnée à l’origine (b) = moyenne Y − a × moyenne X
Qualité du modèle et prédiction
Le coefficient de détermination (R²) mesure la part de variance expliquée par le modèle.
- R² = r²
- R² proche de 1 : bon ajustement
Corrélation
- Mesure la force et le sens de la liaison
- r ∈ [-1 ; 1]
Régression
- Modélise la relation pour prédire Y
- Droite y = a x + b
Limites et pièges
- Corrélation ≠ causalité
- Extrapolation risquée hors du domaine des données
Données : X = [1, 2, 3], Y = [2, 4, 6]. Calculer r, a, b et R².
- Calculer les moyennes : \bar{X} = 2, \bar{Y} = 4
- Calculer la covariance : \text{Cov}(X, Y) = 2
- Calculer les écarts-types : σ_X = √(2/3), σ_Y = √(8/3)
- r = \text{Cov}(X, Y) / (σ_X σ_Y) = 1
r = 1, a = 2, b = 0, R² = 1. Liaison linéaire parfaite.
- Nuage de points → visualiser la relation
- Covariance → sens de la liaison linéaire
- r → force et sens normalisés
- Droite de régression → modéliser et prédire