Arithmétique et divisibilité
Des critères aux problèmes de partage et de répétition
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Multiples, diviseurs et critères
Deux notions à distinguer
Multiples de a
- Ce sont les produits de a par des entiers.
- Ils se prolongent indéfiniment si a est non nul.
- Exemple : 15 est un multiple de 5.
Diviseurs de b
- a divise b si b = a × k pour un entier k.
- Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs.
- Exemple : 5 divise 15.
Critères de divisibilité
| Diviseur | Le nombre est divisible si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Son chiffre des unités est pair. | 148 |
| 3 | La somme de ses chiffres est divisible par 3. | 123 |
| 5 | Il se termine par 0 ou 5. | 235 |
| 9 | La somme de ses chiffres est divisible par 9. | 729 |
| 10 | Il se termine par 0. | 430 |
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Nombres premiers et facteurs
Reconnaître un nombre premier
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
- 1 n’est pas un nombre premier.
- Pour tester si n > 1 est premier, vérifie qu’aucun nombre premier inférieur ou égal à √n ne le divise.
- La décomposition en facteurs premiers est unique.
Décomposer 180
Écris 180 comme produit de facteurs premiers.
- 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45.
- 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5.
- Regroupe les facteurs identiques.
180 = 2² × 3² × 5.
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Calculs et fractions
Propriétés utiles
- Si d divise a et b, alors d divise aussi a + b et a − b.
- Si d divise a, alors d divise ka pour tout entier k.
- Les facteurs premiers révèlent les diviseurs communs.
Rendre une fraction irréductible
Simplifie 84/126 en utilisant leurs facteurs premiers.
- 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7.
- Divise le numérateur et le dénominateur par 42.
- Vérifie que 2 et 3 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
84/126 = 2/3 ; la fraction est irréductible.
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Appliquer aux problèmes
Choisir la bonne recherche
Retrouver deux horaires communs
Deux alarmes sonnent ensemble à 8 h. L’une sonne toutes les 12 minutes, l’autre toutes les 18 minutes. Quand sonneront-elles ensemble ensuite ?
- Cherche le plus petit multiple commun positif de 12 et 18.
- 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3².
- Le plus petit multiple commun est 2² × 3² = 36 minutes.
Elles sonneront ensemble de nouveau à 8 h 36.
À toi de jouer
- 24 objets sont partagés sans reste entre 3 personnes : combien chacun en reçoit-il ?
- 315 est-il divisible par 3, par 5 et par 9 ?
- Décompose 60 en facteurs premiers.
Mémo final
Le bon réflexe
Pense partage → diviseurs et répétition → multiples communs. Vérifie toujours les unités.
À retenir
- Les critères permettent de tester rapidement certaines divisibilités.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs.
- Les facteurs premiers aident à simplifier et à justifier les calculs.