Applications linéaires
Applications linéaires : noyau, image, matrice, rang et changement de base
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Définition et composition
Linéarité
Une application f est linéaire si elle respecte l'addition et l'homogénéité.
- f(x+y)=f(x)+f(y).
- f(\lambda x)=\lambda f(x).
Composition
Propriété
- f et g linéaires.
- La composée g\circ f est linéaire.
Attention
- Respecter l'ordre de composition.
- La linéarité ne dépend pas de la base.
Mémo
Pour tester la linéarité, vérifie toujours somme puis scalaire.
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Noyau et image
Définitions
| Objet | Définition |
|---|---|
| Noyau | Vecteurs envoyés sur 0. |
| Image | Vecteurs atteignables par f. |
| Sous-espace | Le noyau et l'image en sont. |
Calcul pratique
- 1
Résoudre f(x)=0 pour trouver le noyau.
- 2
Décrire les sorties possibles pour obtenir l'image.
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Injectivité, surjectivité, bijectivité
Critères
Injective
- Ker(f)={0}.
- Deux antécédents distincts sont impossibles.
- Le noyau ne contient que le vecteur nul.
Surjective
- Im(f)=espace d'arrivée.
- Tout vecteur du codomaine est atteint.
- Il existe au moins un antécédent pour chaque cible.
Bijectivité
Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
- Elle admet alors une réciproque.
- Le noyau est réduit à {0}.
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Matrice et rang
Matrice associée
Dans des bases choisies, les colonnes sont les images des vecteurs de base.
Rang
Le rang de f est la dimension de son image.
- Rang = dim(Im(f)).
- Il se lit sur la matrice associée.
Idée clé
La matrice décrit f dans une base, mais l'application elle-même ne change pas.
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Changement de base
Comparaison
Même application
- f reste la même.
- Ses valeurs ne changent pas.
Nouvelle base
- La matrice change.
- Les calculs peuvent devenir plus simples.
Matrice de passage
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Vérification rapide
Mini-défi
- Comment reconnaître l'injectivité avec le noyau.
- Que signifie Im(f)=codomaine.
- Quel objet dépend du choix de base.
Résumé
- Noyau et image structurent l'étude d'une application linéaire.
- Injectivité, surjectivité et bijectivité se lisent avec Ker(f) et Im(f).