Calcul différentiel
Étudier les variations locales d’une fonction, ses extremums et ses approximations à l’aide de la dérivée.
Dérivée et sens géométrique
La dérivée en a est la limite du taux d’accroissement, si elle existe.
- f'(a) mesure la variation instantanée.
- La dérivabilité implique la continuité.
Lecture locale
Pense à la dérivée comme à une vitesse instantanée sur la courbe.
Règles de dérivation
Ces règles s’appliquent quand les expressions sont dérivables et v\neq 0.
Composée
La règle de la chaîne multiplie par la dérivée de l’intérieur.
À faire
- Dériver chaque morceau.
- Garder l’ordre des opérations.
- Vérifier la fonction intérieure.
!!Pièges!!
- Oublier le facteur de chaîne.
- Confondre quotient et produit.
- Dériver un inverse comme une puissance.
Étude des variations
- 1
Calculer f'.
- 2
Étudier le signe de f'.
| Signe de f' | Variation de f | Interprétation |
|---|---|---|
| + | croissante | la courbe monte |
| 0 | stationnaire | tangente horizontale |
| − | décroissante | la courbe descend |
Extremums
Soit f une fonction dérivable. On cherche ses extremums sur un intervalle.
- Résoudre f'(x)=0 ou repérer où f' n’existe pas.
- Tester le signe de f' autour des points critiques.
- Comparer aussi les valeurs aux bornes si l’intervalle est fermé.
Un changement de signe de f' indique un extremum local; les bornes comptent pour un extremum global.
- f'(a)=0 suffit toujours pour conclure à un extremum.
- Un extremum global sur un intervalle fermé peut être une borne.
Approximation locale et optimisation
C’est l’approximation affine au voisinage de a.
Optimisation
- 1
Écrire la fonction objectif.
- 2
Calculer la dérivée.
Dérivée d’abord, signe ensuite, conclusion enfin : c’est la chaîne gagnante.
Bilan express
- La dérivée mesure la variation locale et donne la tangente.
- Les règles de calcul incluent somme, produit, quotient et composée.
- Le signe de f' construit les variations et les extremums.
- L’approximation affine sert à estimer près d’un point.