Conditionnement et indépendance
Le conditionnement recalibre la probabilité, Bayes inverse le raisonnement, et l’indépendance factorise les calculs.
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Conditionnement
Définition
On calcule A dans l’univers restreint à B, avec P(B)>0.
Lecture rapide
Avec B
- L’univers est restreint.
- On cherche A dans ce cadre.
Sans B
- On raisonne sur l’univers entier.
- La probabilité peut changer.
2
Totales et Bayes
Totales
La famille (B_i) doit former une partition de l’univers.
Bayes
On remonte du résultat A vers la cause B_i.
Mémo
Totales part du cas vers le tout, et Bayes revient du résultat vers la cause.
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Indépendance
Événements
Deux événements sont indépendants si l’un ne modifie pas l’autre.
Comparaison
Indépendance
- Factorisation des probabilités.
- Coexistence possible.
Incompatibilité
- Intersection vide.
- Pas de coexistence possible.
Piège
Indépendance et incompatibilité ne sont pas la même chose.
4
Indépendance mutuelle
Famille d’événements
Une famille est mutuellement indépendante si toutes les intersections pertinentes factorisent.
- Il faut vérifier les intersections de tous les sous-ensembles.
- Deux à deux indépendant ne suffit pas toujours.
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Variables aléatoires
Loi conjointe et marginales
| Objet | Sens | Obtention |
|---|---|---|
| Conjointe | Loi de (X,Y) | Table ou densité commune |
| Marginale de X | Loi de X | Somme ou intégrale sur Y |
| Marginale de Y | Loi de Y | Somme ou intégrale sur X |
Indépendance des variables
En discret, la loi conjointe factorise exactement si X et Y sont indépendantes.
Schéma
6
S’entraîner
Questions
- Écrire P(A\mid B) à partir de P(A\cap B) et P(B).
- Dire quand on utilise la formule des probabilités totales.
- Différencier événements indépendants et incompatibles.
Résumé
- Le conditionnement change le cadre de calcul.
- Les probabilités totales additionnent les cas d’une partition.