Cas 2 × 2

À retenir : le premier produit est positif, le second est soustrait.

Cas 3 × 3

• Le déterminant se calcule par développement ou par la règle de Sarrus.
• Le résultat est un nombre associé à une matrice carrée.

Mémo rapide

ad moins bc en 2D, puis penser au signe en 3D.

Effet des opérations élémentaires

Multilinéarité

• Le déterminant est linéaire par ligne et par colonne.
• On traite chaque ligne ou colonne séparément.

Mineurs et cofacteurs

Le mineur est le déterminant obtenu en supprimant une ligne et une colonne.

• Le cofacteur est le mineur affecté du signe $(-1)^{i+j}$.
• Le schéma des signes alterne sur la matrice.

Développement par ligne ou colonne

1. 1

   Choisir une ligne ou une colonne avec des zéros.

2. 2

   Calculer les mineurs associés.

Critère fondamental

==Si $\det(A)=0$, il n’existe pas d’inverse.==

Calcul de l’inverse

On calcule la comatrice, puis sa transposée, puis on divise par $\det(A)$.

Règle de Cramer

• Elle s’applique quand la matrice du système est inversible.
• Chaque inconnue s’écrit comme un quotient de déterminants.

Sens géométrique

Idée clé

• En dimension 2, la valeur absolue mesure une aire multipliée.
• En dimension 3, la valeur absolue mesure un volume multiplié.

Exemples et vérifications

Soit A = [[2,1],[3,4]]. Calculer det(A) et conclure sur l’inversibilité.

• On utilise la formule 2 × 2.
• det(A) = 2 \times 4 - 1 \times 3.
• On obtient 5.

\det(A)=5, donc A est inversible.

Questions flash

• À retenir : le déterminant se calcule, se manipule par opérations élémentaires, caractérise l’inversibilité et donne un sens géométrique d’aire, de volume et d’orientation. En exercice, il faut surtout savoir choisir la bonne méthode de calcul et relier det(A) à l’existence de l’inverse.