Développements limités
Les développements limités approximant une fonction localement par un polynôme, ils servent à calculer des limites, comparer des fonctions et faire des approximations précises.
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Voisinage et idée
Développement limité
Un DL écrit une fonction comme somme polynomiale plus un reste négligeable.
- Étude près d'un point fixé.
- Approximation locale par un polynôme.
- Le reste est petit devant la puissance visée.
À retenir
Pense au DL comme à une photo nette prise de très près, pas de loin.
2
Formules usuelles
Développements classiques autour de 0
| Fonction | DL à connaître |
|---|---|
| (1+x)^\alpha | 1+\alpha x+o(x) |
| e^x | 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2) |
| \sin x | x+o(x) |
| \cos x | 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2) |
| \ln(1+x) | x+o(x) |
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Opérations
Règles pratiques
- 1
Additionner ou soustraire les DL terme à terme.
- 2
Multiplier puis garder seulement l'ordre utile.
Pièges fréquents
À faire
- Conserver assez de termes.
- Contrôler l'ordre demandé.
- Élaguer après développement.
!!À éviter!!
- Couper trop tôt.
- Oublier des annulations.
- Garder des termes inutiles.
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Composition
Idée de composition
Méthode
- 1
Vérifier que l'intérieur tend vers 0.
- 2
Écrire le DL extérieur en petite quantité.
5
Comparaison locale
Équivalent et DL
DL utile
- Donne plusieurs termes.
- Permet de comparer finement.
- Fournit un équivalent.
Équivalent
- Garde un seul terme dominant.
- Suffit pour une limite simple.
- Ne décrit pas le reste.
Idée clé
Le premier terme non nul domine : c'est lui qui décide souvent du comportement local.
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Limites et approximation
Calcul de limite
Calculer la limite de \frac{e^x-1-x}{x^2} quand x tend vers 0.
- On utilise e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2).
- Alors e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2).
- On divise par x^2.
La limite vaut \frac{1}{2}.
Approximation locale
- Remplacer la fonction par son DL près du point.
- Lire la valeur approchée sur les premiers termes.