Espaces vectoriels
Cette fiche récapitule les notions fondamentales des espaces vectoriels en algèbre linéaire. L’objectif est de savoir reconnaître un sous-espace, manipuler les combinaisons linéaires, et comprendre comment une base permet de décrire tout
Repères essentiels
Définition
Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication scalaire compatibles.
- Le vecteur nul appartient à l’espace.
- Tout vecteur a un opposé.
À retenir
Zéro, stabilité, opposé : si ces trois idées tiennent, tu es souvent sur la bonne voie.
Pièges fréquents
- !!Un sous-ensemble quelconque n’est pas forcément un espace vectoriel.
- !!Le vecteur nul doit toujours appartenir à l’ensemble étudié.
Sous-espaces
Critère
- 1
Vérifier que
0appartient à l’ensemble. - 2
Vérifier la stabilité par addition.
Combinaison linéaire
C’est une somme de multiples scalaires de vecteurs donnés.
Idée clé
Familles
Comparaison
Famille libre
- Aucune relation linéaire non triviale.
- Aucun vecteur n’est redondant.
- Les coefficients nuls donnent seulement la relation triviale.
Famille génératrice
- Tout vecteur de l’espace s’écrit avec elle.
- Elle couvre l’espace.
- Elle peut contenir des redondances.
Définitions rapides
- Famille libre
- Famille sans relation linéaire non triviale.
- Famille génératrice
- Famille dont les combinaisons linéaires donnent tout l’espace.
- Relation linéaire
- Égalité vectorielle faisant intervenir des coefficients scalaires.
Piège classique
- !!Une famille génératrice n’est pas forcément libre.
- !!Une famille libre ne couvre pas forcément tout l’espace.
Bases et dimension
Définition
Une base est une famille libre et génératrice d’un espace vectoriel.
- Elle permet une écriture unique de chaque vecteur.
- Elle supprime toute redondance.
Dimension
Toutes les bases d’un même espace ont le même nombre de vecteurs.
Résumé visuel
Coordonnées et méthode
Écriture dans une base
Dans une base donnée, écrire un vecteur revient à trouver ses coefficients.
- On cherche les coefficients devant les vecteurs de la base.
- On identifie l’égalité vecteur par vecteur.
- On lit les coefficients obtenus comme coordonnées.
Les coordonnées sont les coefficients de l’écriture sur la base.
Méthode
- 1
Choisir une base.
- 2
Écrire l’égalité cherchée avec des coefficients
Mini-défi
- Donne le critère de sous-espace.
- Quelle différence entre libre et génératrice ?
Bilan
Synthèse
- Un sous-espace est stable et contient
0. - Une combinaison linéaire construit de nouveaux vecteurs.
- Une famille libre évite les redondances.
- Une famille génératrice couvre l’espace.