Espérance, variance et convergences
Cette fiche rassemble les notions de base du calcul d’espérance et de dispersion, puis les principaux modes de convergence en probabilités.
Position et calculs de base
Espérance
L’espérance est la moyenne théorique d’une variable aléatoire.
- Discret : somme des valeurs pondérées par leurs probabilités.
- Continu : intégrale de x f(x) sur l’ensemble des valeurs.
Linéarité
La linéarité vaut toujours, sans hypothèse d’indépendance. Pour une constante c, \mathbb{E}(c)=c.
Mémo
Pense à l’espérance comme au point d’équilibre d’un mobile.
Dispersion et lien entre variables
Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion autour de la moyenne, et l’écart-type vaut sa racine carrée.
Covariance
La covariance mesure le sens de variation commun. Si X et Y sont indépendantes, alors \mathrm{Cov}(X,Y)=0.
Comparaison
Variance
- Dispersion d’une seule variable.
- Toujours positive ou nulle.
- Grande valeur signifie forte variabilité.
Covariance
- Lien entre deux variables.
- Peut être positive, nulle ou négative.
- Nulle ne signifie pas forcément indépendance.
Standardiser une variable
Variable centrée réduite
On centre en retirant la moyenne, puis on réduit en divisant par l’écart-type \sigma.
Effet
| Transformation | Effet |
|---|---|
| Moyenne nulle. | |
| Moyenne nulle et variance un. | |
| Comparaison | Variables sur une même échelle. |
Contrôler les écarts
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour tout a>0, cette borne majore la probabilité d’un écart important à la moyenne.
Version centrée réduite
Cette écriture montre qu’une variable centrée réduite s’éloigne rarement beaucoup de 0.
Piège
Tchebychev donne une borne, pas une valeur exacte.
Convergences en probabilités
Comparaison des notions
Convergence en probabilité
- Les grands écarts deviennent rares.
- On contrôle des probabilités d’écart.
- C’est la notion utilisée par la loi faible.
Convergence presque sûre
- La suite converge presque partout.
- C’est une notion plus forte.
- Elle implique la convergence en probabilité.
Loi faible des grands nombres
La moyenne empirique de variables i.i.d. converge en probabilité vers l’espérance.
- i.i.d. signifie indépendantes et de même loi.
- Tchebychev sert à établir cette convergence.
Diagramme
S’entraîner vite
Exemple guidé
On considère une variable X d’espérance \mathbb{E}(X)=10 et de variance \mathrm{V}(X)=4. Majorer \mathbb{P}(|X-10|\ge 3).
- Appliquer l’inégalité de Tchebychev avec a=3.
- Écrire \mathbb{P}(|X-10|\ge 3)\le 4/9.
- Conclure que l’écart d’au moins 3 est peu probable.
On obtient \mathbb{P}(|X-10|\ge 3)\le 4/9.
Pratique
- La covariance nulle implique toujours l’indépendance.
- La variance est toujours positive ou nulle.
Résumé
- L’espérance fixe le centre.
- La variance et l’écart-type mesurent la dispersion.