Fonctions de plusieurs variables
Révision compacte des outils de calcul différentiel en dimension supérieure.
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Fonctions et domaine
Définition
Une fonction de plusieurs variables associe un réel à un couple ou plus.
- En licence 1, on étudie souvent f(x,y) ou f(x,y,z).
- Le domaine est l'ensemble des points où f existe.
- Une fonction à deux variables se représente souvent par une surface.
Repères essentiels
- Le domaine se détermine avant tout calcul.
- !!Ne pas confondre domaine et image.
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Dérivées partielles et gradient
Formule
Le gradient regroupe les dérivées partielles et indique la direction de croissance la plus rapide.
Idées clés
Dérivées partielles
- On dérive par rapport à une variable.
- Les autres variables restent constantes.
- Elles donnent des pentes selon les axes.
Gradient et dérivée directionnelle
- Le gradient rassemble toutes les dérivées partielles.
- Il pointe vers la plus forte augmentation.
- La dérivée directionnelle mesure la variation dans une direction donnée.
Mémo
Pense au gradient comme une boussole qui indique le versant le plus raide.
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Continuité et différentiabilité
Comparaison
Continuité
- La limite au point vaut la valeur de la fonction.
- Il faut vérifier les approches par tous les chemins.
- Les fonctions par morceaux demandent une vigilance particulière.
Différentiabilité
- La fonction admet une approximation affine locale.
- La différentiabilité implique la continuité.
- Le plan tangent sert de modèle local.
Processus
- 1
Vérifier d'abord le domaine et le point étudié.
- 2
Étudier la limite selon plusieurs chemins.
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Matrice hessienne
Définition
La matrice hessienne regroupe les dérivées secondes d'une fonction de plusieurs variables.
- Elle décrit la courbure locale.
- Elle sert à classer les points critiques.
Tableau de lecture
| Objet | Rôle | Repère |
|---|---|---|
| Point critique | Gradient nul | Candidat à un extremum |
| Hessienne | Dérivées secondes | Test de courbure |
| Extremum local | Valeur max ou min | À comparer autour du point |
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Recherche d'extremums libres
Processus
- 1
Résoudre \nabla f=0.
- 2
Lister les points critiques obtenus.
Exemple guidé
On cherche les extremums libres d'une fonction de plusieurs variables en un point intérieur.
- On commence par résoudre \nabla f=0 pour trouver les points critiques.
- On calcule ensuite la matrice hessienne au point trouvé.
- On conclut par le test des dérivées secondes pour classer le point.
Un extremum intérieur ne peut apparaître qu'en un point critique, puis la hessienne précise sa nature.
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À retenir
Résumé
- Le domaine fixe où la fonction existe.
- Les dérivées partielles et le gradient décrivent la variation.
- La continuité compare limite et valeur.
Mini-défi
- Dire ce que signifie \"domaine de définition\".
- Expliquer la différence entre dérivée partielle et gradient.