Intégration
L’intégration permet de calculer des primitives et des quantités accumulées.
Primitives et intégrale
Lien fondamental
Une primitive F de f vérifie F' = f, donc F est une anti-dérivée.
- Une fonction admet souvent plusieurs primitives.
- Toutes les primitives diffèrent d’une constante.
Formule centrale
Si F est une primitive de f, alors cette différence donne l’intégrale définie.
Repères rapides
Primitive
- Fonction F telle que F' = f.
- Famille F + C.
- Objet indéfini.
Intégrale définie
- Nombre sur [a,b].
- Calcul de variation accumulée.
- Résultat signé.
Calcul des primitives usuelles
Règles de base
| Forme | Primitive |
|---|---|
| x^n | x^{n+1}/(n+1) + C |
| k f(x) | kF(x) + C |
| f+g | F+G + C |
Méthode
- 1
Reconnaître la forme de l’intégrande.
- 2
Appliquer la règle correspondante.
Piège classique
Oublie jamais la constante C, sinon ta famille de primitives disparaît.
Changement de variable simple
Idée
Procédure
- 1
Choisir u = g(x) adapté.
- 2
Calculer du à partir de dx.
Attention
Ne garde pas simultanément x et u sans règle claire.
Intégration par parties
Formule
Cette méthode transforme un produit en une intégrale souvent plus simple.
Choix des termes
Choisir u
- Ce qu’on veut simplifier.
- Souvent logarithme ou polynôme.
- Dérivée plus simple.
Choisir dv
- Partie facile à intégrer.
- Souvent exponentielle ou trigonométrique.
- Permet de trouver v.
Mémo
UV - VU aide à retenir le terme uv puis le signe moins.
Aires et applications
Interprétation
L’intégrale définie mesure une accumulation, et l’aire géométrique exige une lecture attentive du signe.
- Sous l’axe, la contribution devient négative.
- Si la courbe coupe l’axe, on découpe l’intervalle.
Calcul de l’aire
- 1
Repérer les changements de signe.
- 2
Découper l’intervalle si nécessaire.
Mini-défi
- Quelle différence sépare une primitive d’une intégrale définie ?
- Pourquoi change-t-on les bornes lors d’un changement de variable ?
Synthèse
À retenir
- Une primitive vérifie F' = f.
- L’intégrale définie se calcule avec F(b) - F(a).
- Le changement de variable simplifie une expression complexe.
- L’intégration par parties traite bien les produits.