Oscillateurs harmoniques
Modèle simple d’un système autour d’un équilibre stable.
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Modèle et équation
Idée centrale
Un oscillateur harmonique subit une force de rappel proportionnelle au déplacement.
- Équilibre stable autour de la position centrale.
- ==L’équation du mouvement est x'' + ω0²x = 0==.
- ω0 dépend des paramètres du système.
Cas masse-ressort
La division par m donne la forme standard, avec pulsation propre fixée par k et m.
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Solution et repères
Solution générale
A est l’amplitude et φ la phase, déterminées par les conditions initiales.
Grandeurs associées
| Grandeur | Expression | Sens |
|---|---|---|
| Période | T=2\pi/\omega_0 | Temps d’un cycle |
| Vitesse | v=x' | Dérivée de x |
| Accélération | a=x'' | Dérivée seconde de x |
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Énergie
Échange d’énergie
Bilan mécanique
- L’énergie mécanique reste constante sans dissipation.
- L’énergie se répartit entre cinétique et potentielle.
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Amortissement et résonance
Comparaison
Oscillation libre amortie
- Pertes d’énergie au cours du temps.
- Amplitude décroissante.
- Pas de forçage extérieur.
Oscillation forcée
- Excitation périodique imposée.
- Résonance près de ω0.
- Amplitude très grande si l’amortissement est faible.
Mémo
Pense à une balançoire : pousser au bon rythme augmente l’amplitude, pas au hasard.
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À pratiquer
Questions flash
- Écris l’équation différentielle canonique de l’oscillateur harmonique.
- Donne l’expression de la pulsation propre d’un masse-ressort.
- Quelle forme prend la solution générale ?
Mini-bilan
- Équation simple : x'' + ω0²x = 0.
- Solution sinusoïdale : A, ω0, φ.