Corrélation et régression linéaire
La corrélation décrit la liaison, la régression la modélise, et R² en juge la qualité.
Nuage de points
Lecture visuelle
Le nuage de points représente les couples (x, y) d’une série bivariée.
À repérer
- Sens croissant ou décroissant de la liaison.
- Forme globale plutôt linéaire ou non.
Mini-image mentale
Imagine des aimants : plus les points s’alignent, plus la liaison est nette.
Quantifier la liaison
Covariance et corrélation
Covariance
- Mesure la variation conjointe de x et y.
- Son signe indique le sens de la liaison.
- Sa valeur dépend des unités de mesure.
Coefficient de corrélation linéaire
- Mesure l’intensité de la liaison linéaire.
- Il est compris entre -1 et 1.
- Son signe donne le sens, |r| la force.
Repères d’interprétation
| Valeur de r | Lecture |
|---|---|
| r proche de 1 | Liaison croissante forte. |
| r proche de -1 | Liaison décroissante forte. |
| r proche de 0 | Faible liaison linéaire. |
Régression linéaire
Idée centrale
La droite de régression donne la meilleure approximation linéaire de y en x.
Moindres carrés
La méthode choisit la droite qui minimise la somme des carrés des résidus.
Lecture des coefficients
- La pente mesure la variation moyenne de y quand x augmente de 1.
- Une pente positive signifie que y augmente avec x.
Qualité et limites
Coefficient de détermination
Le coefficient de détermination R² mesure la part de variance expliquée par le modèle linéaire.
Interprétation de R²
- R² proche de 1 indique un bon ajustement linéaire.
- R² proche de 0 indique un ajustement linéaire faible.
Piège fréquent
Corrélation ne veut pas dire causalité : une variable cachée peut expliquer la liaison.
Passer de l’observation au modèle
Démarche
- 1
Tracer le nuage de points.
- 2
Repérer le sens et la forme de la liaison.
Exemple guidé
On observe une liaison entre x et y et on souhaite la modéliser linéairement.
- Le nuage de points indique une tendance approximativement linéaire.
- La corrélation résume la force et le sens de la liaison.
- La droite de régression fournit une estimation de y à partir de x.
On décrit la relation, on la quantifie, puis on l’approche par un modèle linéaire.
- La corrélation décrit la liaison, la régression la modélise, et R² en juge la qualité.