Loi normale et score z
Outils clés pour analyser et comparer des données quantitatives
1
Loi normale : forme et paramètres
La loi normale est une distribution symétrique en cloche.
- Moyenne μ détermine le centre
- Écart-type σ détermine l'étalement
- Aire totale sous la courbe = 1
- 68% des données dans [μ-σ ; μ+σ]
- 95% dans [μ-2σ ; μ+2σ]
2
Standardisation : centrage et réduction
Transforme X en variable centrée réduite (moyenne 0, écart-type 1).
Retiens : ==Z = (valeur - moyenne) / écart-type== pour comparer des échelles différentes.
3
Interprétation du score z
Score z positif
- Valeur au-dessus de la moyenne
- Exemple : Z = 1,5 → 1,5σ au-dessus de μ
Score z négatif
- Valeur en dessous de la moyenne
- Exemple : Z = -2 → 2σ en dessous de μ
4
Probabilités et percentiles
- 1
Standardiser X en Z avec la formule
- 2
Lire P(Z ≤ z) dans la table de la loi normale standard
5
Application en psychologie
Un test de QI a μ = 100 et σ = 15. Quel est le score z d'un QI de 120 ?
- Calculer Z = (120 - 100) / 15
- Z = 20 / 15 ≈ 1,33
Le score z est 1,33 : la personne est 1,33σ au-dessus de la moyenne.
- Standardiser les scores pour comparer des tests différents
- Évaluer la rareté d'un score (ex. QI > 130 → Z > 2)
6
- Quelle proportion de données se trouve dans [μ-σ ; μ+σ] sous une loi normale ?
- Calculez le score z pour X = 85, si μ = 100 et σ = 10.
- Si Z = -1,5, la valeur est-elle au-dessus ou en dessous de la moyenne ?
- Comment s'appelle la distribution obtenue après centrage-réduction ?
- Loi normale : courbe symétrique définie par μ et σ
- Centrage-réduction : Z = (X - μ)/σ pour standardiser
- Score z : position relative en unités d'écart-type
- Table Z : donne P(Z ≤ z) pour N(0,1)