Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles relient information connue, intersections, arbres et formules d’inversion.
Événements et notations
Repères de base
Un événement est un ensemble d’issues ; sa probabilité est entre 0 et 1.
- A et B sont des événements.
- A^c est l’événement contraire.
- A \cap B signifie que les deux se réalisent.
Mémo visuel
Intersection : les deux. Réunion : au moins un. Ne pas confondre événement et probabilité.
Conjointe et conditionnelle
Formule centrale
La conditionnalité revient à travailler dans l’univers réduit par B.
Calcul direct
On sait que P(A\cap B)=0{,}12 et P(B)=0{,}30. Calculer P(A\mid B).
- On applique la définition.
- P(A\mid B)=0{,}12/0{,}30.
- On obtient 0{,}4.
Donc P(A\mid B)=0{,}4.
Indépendance et tableaux croisés
Comparer deux critères
Indépendance
- P(A\cap B)=P(A)P(B).
- P(A\mid B)=P(A) si P(B)>0.
- La relation est symétrique.
Incompatibilité
- A\cap B est impossible.
- P(A\cap B)=0.
- Les événements ne peuvent pas coexister.
Lecture rapide
| Case | Sens | À vérifier |
|---|---|---|
| Ligne | Effectif ou probabilité d’un événement | Total ligne |
| Colonne | Effectif ou probabilité de l’autre événement | Total colonne |
Pièges à éviter
Indépendance et incompatibilité sont différentes. Un tableau croisé aide à vérifier les totaux et les intersections.
Arbres et formules globales
Chemin de calcul
- 1
Choisir les cas du premier niveau.
- 2
Placer les probabilités conditionnelles au second niveau.
Formules à connaître
Si \{A_i\} forme une partition, on obtient la formule des probabilités totales.
Inversion de condition
La formule de Bayes permet de remonter de B vers la cause A_i.
Synthèse et entraînement
Idée essentielle
- Une conditionnelle est une probabilité recalculée avec une information donnée.
- La conjointe sert de lien entre arbres, tableaux et Bayes.
- L’indépendance se teste avec produit, intersection ou conditionnelle.
Mini-pratique
- Écrire la définition de P(A\mid B).
- Donner le critère d’indépendance de A et B.