Dérivation
La dérivation relie la pente locale d’une courbe, les variations d’une fonction et la recherche d’extrema.
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Nombre dérivé et tangente
Idée essentielle
Le nombre dérivé en a est la pente de la tangente au point d’abscisse a.
- Il décrit le comportement local de la courbe.
- Il se note f'(a).
- Il dépend du point choisi.
Tangente
La tangente passe par (a, f(a)) et a pour pente f'(a).
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Fonctions dérivées usuelles
Règles de base
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| x | 1 |
| x^n | nx^(n-1) |
| kf | kf' |
| f+g | f'+g' |
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Variations
Lire le signe de f'
f'(x) > 0
- f est croissante.
- La courbe monte.
f'(x) < 0
- f est décroissante.
- La courbe descend.
Lien signe-variations
Mémo
On étudie d’abord le signe de f', puis on lit les variations de f.
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Optimisation
Méthode
- 1
Traduire la situation par une fonction.
- 2
Calculer la dérivée.
- 3
Résoudre f'(x)=0.
À surveiller
- Toujours préciser le domaine de définition.
- Un point critique n’est pas forcément un extremum.
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S’entraîner
Questions flash
- Que représente f'(a) sur une courbe ?
- Quelle est l’équation de la tangente en a ?
Exemple guidé
On considère f(x)=x^2. Déterminer f'(x), puis la pente de la tangente en 1.
- On applique la règle (x^n)' = nx^(n-1).
- On obtient f'(x)=2x.
- On calcule f'(1)=2.
La tangente en 1 a pour pente 2.
Résumé express
- Le nombre dérivé donne la pente locale.
- La tangente se calcule avec f'(a).