Fonction exponentielle
Comprendre la définition, calculer, étudier, résoudre et modéliser avec l’exponentielle.
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Définition et construction
Idée de définition
La fonction exponentielle est la fonction unique vérifiant ==f'=f== et exp(0)=1.
- On la note souvent
exp(x)oue^x. - Elle est toujours strictement positive.
- Ne pas confondre définition et simple écriture algébrique.
Mémo
La fonction qui = sa dérivée, avec un départ fixé en 0.
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Propriétés algébriques
Règles de calcul
Somme dans l’exposant, produit à l’extérieur.
À retenir
Correct
- \exp(a-b)=\exp(a)/\exp(b)
- \exp(-x)=1/\exp(x)
- \exp(0)=1
À éviter
- \exp(a+b)=\exp(a)+\exp(b)
- \exp(xy)=\exp(x)\exp(y)
- Distribuer une puissance dans une somme.
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Variations
Sens de variation
Repères utiles
- \exp(x) est strictement croissante.
- \exp(x) tend vers
0quandxtend vers-\infty.
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Équations simples
Méthode
- 1
Regrouper les exponentielles grâce aux règles
- 2
Comparer les exposants si les bases sont
Résolution type
Résoudre \exp(x)=\exp(3).
- Les deux membres sont des exponentielles de même fonction.
- On utilise l’injectivité de
\exp. - Donc les exposants sont égaux.
La solution est x=3.
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Modélisation
Idée clé
| Situation | Lecture exponentielle |
|---|---|
| Croissance | Évolution multiplicative |
| Décroissance | Exposant négatif |
| Contexte | Paramètres à interpréter |
Comparaison
Évolution exponentielle
- Multiplie la quantité.
- Dépend de la quantité présente.
- Convient aux croissances rapides.
Évolution additive
- Ajoute une même quantité.
- Ne dépend pas du niveau actuel.
- Convient aux suites arithmétiques.
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Entraînement
Vrai ou faux
\exp(x)peut être négative.\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b).- Si
\exp(x)=\exp(y), alorsx=y.
Résumé express
- Définition :
\exp'=\expet\exp(0)=1. - Calcul : somme dans l’exposant, produit à l’extérieur.