Fonctions du second degré
Les fonctions du second degré s’écrivent sous plusieurs formes, se résolvent avec le discriminant, et se lisent via le signe et les variations.
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Formes d’écriture
Comparaison des formes
Développée
- f(x)=ax²+bx+c
- Lire a, b et c
- a≠0
Canonique / factorisée
- f(x)=a(x−α)²+β
- f(x)=a(x−x1)(x−x2)
- La factorisée peut ne pas exister sur R.
Repères rapides
| Forme | Ce qu’elle montre |
|---|---|
| Développée | Les coefficients a, b, c. |
| Canonique | Le sommet S(α;β). |
| Factorisée | Les racines éventuelles. |
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Discriminant et racines
Formule
Le discriminant permet de connaître le nombre de solutions de f(x)=0.
Résultat
- 1
Si \Delta>0, il y a deux racines réelles.
- 2
Si \Delta=0, il y a une racine double.
À retenir
\Delta>0 : deux solutions, \Delta=0 : une solution double, \Delta<0 : aucune solution réelle.
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Signe
Règle de signe
Lecture du signe
Si a>0
- Parabole ouverte vers le haut.
- Signe de a en dehors des racines.
Si a<0
- Parabole ouverte vers le bas.
- Signe de a en dehors des racines.
Piège
- !!Pas de changement de signe sans racine réelle.
- !!Ne pas inverser l’intérieur et l’extérieur des racines.
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Variations
Sommet
Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, le sommet est S(α;β).
Lecture des variations
- 1
Si a>0, f décroît puis croît.
- 2
Si a<0, f croît puis décroît.
Mémo
Pour a>0 : bas puis haut. Pour a<0 : haut puis bas.
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Pratique
Questions flash
- Donne les trois écritures d’une fonction du second degré.
- Que vaut \Delta si f(x)=0 a une racine double ?
- Quel est le signe de f entre deux racines lorsque a>0 ?
- Que lit-on directement dans la forme canonique ?
Synthèse
Résumé
- La forme développée donne les coefficients.
- La forme canonique donne le sommet et les variations.
- La forme factorisée donne les racines et le signe.
- Le discriminant décide du nombre de solutions réelles.