Combinatoire et dénombrement
Compter efficacement des choix, arrangements et regroupements sans devoir tout lister.
1
Choisir la bonne règle
Repère
Principe additif
- Cas disjoints.
- On additionne les effectifs.
- Chaque objet appartient à un seul cas.
Principe multiplicatif
- Étapes successives.
- On multiplie les possibilités.
- Chaque choix prépare le suivant.
Addition pour des choix exclusifs, multiplication pour des choix en chaîne.
2
Arrangements et permutations
Idée
Un arrangement compte des choix où l’ordre compte.
- Sans répétition, on choisit k objets parmi n.
- Une permutation est un arrangement de tous les objets.
- La factorielle
n!compte les permutations de n éléments.
Formule
Nombre d’arrangements de k éléments parmi n, sans répétition.
3
Combinaisons
Idée
Une combinaison compte des choix où l’ordre ne compte pas.
- On choisit k éléments parmi n.
- Le sous-ensemble seul compte.
- Lien avec les arrangements : C(n,k)=A(n,k)/k!
Formule
On divise par k! pour supprimer les ordres identiques.
4
Coefficients binomiaux
Repère
| Objet | Rôle | Lien |
|---|---|---|
| C(n,k) | Coefficient binomial | Compte les choix de k parmi n |
| Triangle de Pascal | Lecture rapide | Donne les valeurs ligne par ligne |
| (a+b)^n | Développement | Les coefficients y apparaissent |
5
Méthode rapide
Processus
- 1
Identifier si l’on additionne ou multiplie.
- 2
Vérifier si l’ordre compte.
- 3
Choisir arrangement ou combinaison.
Attention
Erreur fréquente : compter deux fois les mêmes choix quand l’ordre ne compte pas.
6
S’entraîner
Questions
- Dans quel cas additionne-t-on des effectifs ?
- Quand utilise-t-on une permutation ?
- Pourquoi divise-t-on par k! dans une combinaison ?
Bilan
- Principe additif : cas disjoints, on additionne.
- Principe multiplicatif : étapes successives, on multiplie.