Convexité
La convexité se lit sur la forme de la courbe, se prouve avec la dérivée seconde et se vérifie graphiquement.
1
Convexe ou concave
Idée géométrique
Fonction convexe
- Courbe au-dessus de ses tangentes.
- La courbe s’ouvre vers le haut.
Fonction concave
- Courbe au-dessous de ses tangentes.
- La courbe s’ouvre vers le bas.
Repère essentiel
Convexe ne veut pas dire croissante, et concave ne veut pas dire décroissante.
2
Dérivée seconde
Lien de signe
On étudie le signe de f'' sur un intervalle pour conclure sur la forme de la courbe.
Méthode
- 1
Calculer f''(x).
- 2
Étudier son signe sur les intervalles.
3
Tangentes et point d’inflexion
Rôle des tangentes
| Situation | Conséquence |
|---|---|
| Courbe convexe | La courbe reste au-dessus de sa |
| Courbe concave | La courbe reste au-dessous de sa |
| Point d’inflexion | La convexité change de sens. |
Point clé
Point d’inflexion signifie changement de convexité, souvent avec changement de signe de f''.
4
Lecture graphique
Du dessin vers le calcul
À retenir sur le graphe
- Observer la position de la courbe par rapport aux tangentes.
- Repérer le changement de forme de la courbe.
5
S’entraîner
Questions rapides
- Comment reconnaît-on une fonction convexe sur un graphique ?
- Que vaut le signe de f'' pour une fonction concave ?
- Que marque un point d’inflexion ?
Résumé express
- Convexe : au-dessus des tangentes.
- Concave : au-dessous des tangentes.