Équations différentielles
Équations différentielles de Terminale : reconnaître, résoudre et modéliser.
1
Reconnaître la forme
Définition
Une équation différentielle relie une fonction inconnue et sa dérivée.
y' = ay: variation proportionnelle à y.y' = ay + b: même forme avec constante.aetbsont des constantes.
Repères rapides
- Isoler
y'avant d’identifier la forme. - Repérer le terme en
ypuis la constante.
2
Résoudre `y' = ay`
Formule
C est une constante réelle. Si a>0, la solution croît. Si a<0, elle décroît.
Idée clé
Dériver `Ce^{ax}` redonne `aCe^{ax}` : la forme se conserve.
3
Résoudre `y' = ay + b`
Formule
Valable si a \neq 0. On cherche d’abord une solution constante y=k.
Procédé
- 1
Chercher une solution constante
y=k. - 2
Écrire
0=ak+b.
Comparaison
`y' = ay`
- Solution exponentielle pure.
- Pas de terme constant.
- Évolution centrée sur 0.
`y' = ay + b`
- Solution exponentielle décalée.
- Présence d’un terme constant.
- Évolution centrée sur
-b/a.
4
Condition initiale
Procédure
- 1
Écrire la solution générale.
- 2
Remplacer
x0ety0dansy(x0)=y0. - 3
Calculer
C.
Mini-rappel
Une condition initiale transforme une famille de solutions en solution unique.
5
Modéliser une évolution
Diagramme
Idée de lecture
yreprésente une grandeur qui évolue.y'mesure la vitesse de variation.
6
S’entraîner
Pratique
- Donner la solution générale de
y' = ay. - Trouver la solution constante de
y' = ay + b. - Dire comment utiliser
y(x0)=y0.
Résumé
- Reconnaître la forme
y' = ayouy' = ay + b. - Écrire la solution générale puis appliquer la condition initiale.