Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est un outil central pour modéliser, calculer et comparer des croissances.
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Définition et repères
Définition
La fonction exponentielle est la fonction notée exp ou x \mapsto e^x.
- Elle est définie sur
\mathbb{R}. - Elle est strictement positive.
Propriétés de base
Règles à connaître
exp(x+y)=exp(x)exp(y)exp(-x)=1/exp(x)(exp(x))^a=exp(ax)
Pièges fréquents
- Confondre `exp(x)` avec `e+x`.
- Confondre `exp(x)` avec `ex`.
- Oublier que la valeur reste toujours positive.
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Dérivée et variations
Formule clé
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
Conséquence
- Sa dérivée est toujours positive.
- Elle est strictement croissante sur
\mathbb{R}.
Mémo
Même fonction, même dérivée : c'est le réflexe à garder en tête.
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Limites
Comportement aux bornes
Quand x tend vers | Comportement de e^x |
|---|---|
+\infty | +\infty |
-\infty | 0 |
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Équations et inéquations
Résoudre avec la croissance
- 1
Transformer l'équation en une égalité entre deux exponentielles.
- 2
Utiliser l'injectivité de
exp:e^x=e^yéquivaut àx=y.
Exemple guidé
Résoudre e^x=5 puis e^x<5.
- Comme
5>0, l'équation admet une solution unique. - On prend l'unique réel dont l'exponentielle vaut
5. - Pour l'inéquation, la croissance de
exppermet de comparer les antécédents.
La solution de e^x=5 est x=\ln(5). Et e^x<5 équivaut à x<\ln(5).
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Croissance comparée
Comparaison essentielle
Idée à retenir
e^xgrandit plus vite que tout polynôme.- Elle devient dominante quand
xest très grand.
Mini-défi
- Dire si
e^xpeut être nul. - Résoudre
e^x=e^2.
Conclusion
Synthèse
e^xest définie sur\mathbb{R}et reste strictement positive.- Elle est strictement croissante et sa dérivée est elle-même.
- Ses limites sont
0à gauche et+\inftyà droite. - Elle permet de résoudre équations, inéquations et comparaisons de croissance.