Géométrie dans l’espace
Cette fiche récapitule les outils essentiels de géométrie dans l’espace en Terminale : vecteurs, droites et plans, puis les outils de calcul permettant de résoudre des problèmes de position et d’orthogonalité.
Vecteurs
Repérer et calculer
Un vecteur se lit avec deux points : [0m[0m, et ses coordonnées se calculent par différence.
ABa les coordonnées de B moins celles de A.- Un point a trois coordonnées, un vecteur a trois composantes.
Opérations utiles
On additionne ou multiplie composante par composante, comme en géométrie plane.
Mémo express
Imagine un vecteur comme une flèche : point de départ, direction, longueur.
Droites
Représentation paramétrique
Une droite est décrite par un point et un vecteur directeur.
Lire une droite
À retenir
- Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient le système.
- Le même paramètre t doit convenir aux trois équations.
Piège
- Une seule équation ne suffit pas toujours à définir une droite
- Un vecteur directeur n’est pas un point
Plans
Définir un plan
Deux façons
- Un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Un point et un vecteur normal.
Idée clé
- Le plan contient deux directions indépendantes.
- Le vecteur normal est perpendiculaire au plan.
Équation cartésienne
Le vecteur (a,b,c) est normal au plan, et on teste l’appartenance par substitution.
Vocabulaire
- Vecteur normal
- Vecteur perpendiculaire à un plan.
- Vecteur directeur
- Vecteur qui donne la direction d’une droite.
- Équation cartésienne
- Équation du type ax+by+cz+d=0 pour un plan.
Produit scalaire
Calcul
Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
Orthogonalité
Si
- \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0.
- Deux vecteurs sont orthogonaux.
- Une droite peut être perpendiculaire à un plan.
Attention
- Non colinéaire ne veut pas dire orthogonal
- Le résultat dépend des coordonnées choisies
Méthode et entraînement
Procédure type
- 1
Identifier point, direction ou normal.
- 2
Choisir la bonne écriture : vecteur, droite ou plan.
Exemple guidé
On considère une droite donnée par un point et un vecteur directeur, puis un plan donné par une équation cartésienne. Que vérifie-t-on pour décider d’une appartenance ou d’une perpendicularité ?
- Pour une droite, on cherche un même paramètre dans les trois coordonnées.
- Pour un plan, on remplace les coordonnées du point dans ax+by+cz+d.
- Pour l’orthogonalité, on calcule un produit scalaire et on teste s’il est nul.
On conclut en choisissant la représentation qui correspond exactement à la question.
Mini-défi
- Écrire les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points.
- Donner la forme paramétrique d’une droite.
Essentiel
Résumé final
- Vecteur, droite et plan sont les trois objets de base.
- Une droite se décrit souvent par une représentation paramétrique.
- Un plan se décrit souvent par une équation cartésienne.
- Le produit scalaire sert à prouver l’orthogonalité.