Intégrales et primitives
Primitives, intégrales, aire algébrique et propriétés essentielles à maîtriser en Terminale.
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Primitives
Définition
Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle si F' = f.
- Une même fonction admet souvent une infinité de primitives.
- Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Lien avec la dérivation
- 1
Chercher une fonction dont la dérivée vaut f.
- 2
Vérifier la dérivée pour confirmer la primitive.
Mémo
Primitive = dérivée à retrouver à l’envers.
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Intégrale définie
Formule de Newton-Leibniz
Si F est une primitive de f, on calcule l’intégrale définie avec une primitive.
Aire algébrique
Au-dessus de l’axe
- Valeur positive.
- Contribution ajoutée à l’intégrale.
Sous l’axe
- Valeur négative.
- Contribution retranchée à l’intégrale.
Idée clé
- Une intégrale définie n’est pas toujours positive.
- Elle mesure une aire algébrique.
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Propriétés
Propriétés essentielles
| Propriété | Écriture | Effet |
|---|---|---|
| Linéarité | \int_a^b (f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g | On sépare les fonctions. |
| Scalaire | \int_a^b \lambda f=\lambda\int_a^b f | Le facteur sort de l’intégrale. |
| Additivité | \int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f | On découpe l’intervalle. |
Conséquences
- Comparer des intégrales revient souvent à comparer des fonctions.
- On peut encadrer une intégrale grâce à des inégalités.
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Méthode et limites
Méthode de calcul
- 1
Trouver une primitive de f.
- 2
Appliquer \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
À exclure
À faire au programme
- Primitives usuelles.
- Calcul d’intégrales par primitive.
- Propriétés de base.
À exclure
- Intégration par parties.
- Méthodes non demandées à l’examen.
- Primitives hors de leur intervalle de validité.
Mini-défi
- Dire si une intégrale peut être négative.
- Citer la formule reliant primitive et intégrale.
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Vocabulaire
Mots à maîtriser
- Primitive
- Fonction dont la dérivée est la fonction donnée.
- Intégrale définie
- Nombre calculé sur un intervalle [a;b].
- Aire algébrique
- Aire comptée avec le signe de la courbe.
Bilan
À retenir
- Une primitive permet de calculer une intégrale définie.
- L’intégrale représente une aire algébrique.
- Les propriétés de base suffisent en Terminale.
- L’intégration par parties est hors programme.