Limites et continuité
Étudier le comportement d’une fonction près d’un point ou à l’infini, puis exploiter sa continuité.
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Notion de limite
Idée clé
La limite décrit le comportement de f(x) quand x se rapproche de a ou devient très grand.
- En un point, on étudie le voisinage de x0.
- À l’infini, on étudie les grandes valeurs de x.
Lecture graphique
Ce qu’on regarde
- La courbe près du point.
- Le comportement de part et d’autre.
- La tendance globale.
Ce qu’on ne confond pas
- Le point lui-même.
- La valeur f(a).
- Une simple impression visuelle.
Mémo
Imagine une voiture qui ralentit vers un panneau sans forcément le toucher.
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Calculer des limites
Règles et cas classiques
On peut aussi multiplier ou diviser si les limites permettent l’opération.
Formes indéterminées
| Forme | Sens | Idée de traitement |
|---|---|---|
| 0/0 | Indéterminée | Factoriser ou simplifier. |
| \infty/\infty | Indéterminée | Mettre en facteur dominant. |
| 0\times\infty | Indéterminée | Réécrire en quotient. |
Méthodes usuelles
- 1
Factoriser pour supprimer un facteur commun.
- 2
Mettre au même dénominateur si besoin.
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Asymptotes
Lien avec les limites
À retenir
- Une limite infinie en a signale souvent une asymptote verticale.
- Une limite finie à l’infini peut donner une asymptote horizontale.
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Continuité
Définition en un point
Une fonction est continue en a si ==\lim_{x\to a} f(x)=f(a)==.
- La limite doit exister.
- La valeur f(a) doit être définie.
Propriétés
Fonctions continues
- Fonctions usuelles sur leur domaine.
- Somme, produit, quotient.
- Composition quand elle est définie.
Attention
- Une fonction définie n’est pas forcément continue.
- Une rupture peut apparaître en un point isolé.
Mini-réflexe
Pour tester la continuité, compare toujours limite et valeur au même point.
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TVI et conséquences
Théorème des valeurs intermédiaires
- Sur un intervalle, une fonction continue prend toutes les valeurs entre deux
- Si f(a) et f(b) encadrent k, alors il existe c tel que f(c)=k.
Méthode d’application
- 1
Vérifier la continuité sur l’intervalle.
- 2
Encadrer la valeur cherchée par deux images.
Piège fréquent
Le TVI garantit une existence, mais pas une solution exacte immédiate.
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S’entraîner
Questions flash
- Que signifie une limite en a ?
- Quand une fonction est-elle continue en a ?
- Quel lien entre limite infinie et asymptote ?
Bilan express
- Les limites décrivent le comportement local ou à l’infini.
- Les formes indéterminées demandent une transformation.