Logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de l’exponentielle. En Terminale, il sert à résoudre des équations et inéquations, à étudier des variations et à manipuler des expressions exponentielles avec rigueur.
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Définition et domaine
Réciproque de l’exponentielle
ln est la fonction réciproque de l’exponentielle.
- x=ln(a) équivaut à e^x=a.
- La fonction est définie sur les réels strictement positifs.
- ln(1)=0 et ln(e)=1.
Repères essentiels
- ln est définie seulement pour les réels strictement positifs.
- ln(1)=0 car e^0=1.
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Propriétés algébriques
Règles de calcul
Ces règles valent pour a>0 et b>0, avec n entier relatif.
À ne pas confondre
Correct
- ln(ab)=ln(a)+ln(b)
- ln(1/a)=-ln(a)
- Arguments strictement positifs
Erreur fréquente
- ln(a+b)=ln(a)+ln(b)
- Appliquer ln à un nombre négatif
- Oublier la condition de domaine
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Dérivée et variations
Dérivée de ln
Cette formule est valable pour x strictement positif.
Conséquence sur les variations
- 1
On étudie la dérivée 1/x.
- 2
Pour x>0, la dérivée est positive.
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Limites essentielles
Comportement aux bornes
| Situation | Limite |
|---|---|
| x\to 0^+ | ln(x)\to -\infty |
| x\to +\infty | ln(x)\to +\infty |
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Équations et inéquations
Résoudre avec ln
Méthode express
Résoudre ln(x)=2, avec x>0.
- On reconnaît une équation logarithmique sur un domaine positif.
- On écrit x=e^2 en passant à l’exponentielle.
La solution est x=e^2.
Mémo de comparaison
Même ordre, mêmes arguments : ln conserve le sens sur ]0,+∞[.
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Révision minute
Entraînement rapide
- Écrire la condition d’existence de ln(a).
- Calculer ln(1) et ln(e).
- Transformer ln(ab) en somme.
À retenir
- ln est la réciproque de l’exponentielle.
- Son domaine est ]0,+∞[.