Loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli modélise une situation à deux issues et permet de calculer espérance et variance.
1
Épreuve de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès ou échec.
- Le succès a pour probabilité p.
- L'échec a pour probabilité 1-p.
Repérage
2
Variable aléatoire
Définition
La variable aléatoire de Bernoulli code le résultat : 1 pour succès, 0 pour échec.
- P(X=1)=p.
- P(X=0)=1-p.
Loi
| Valeur de X | Probabilité |
|---|---|
| 0 | 1-p |
| 1 | p |
3
Schéma de répétition
Idée clé
- 1
Répéter la même épreuve.
- 2
Garder les mêmes probabilités.
Lien
Une épreuve
- Deux issues.
- Une variable X.
- Une loi de Bernoulli.
Répétitions
- Plusieurs essais identiques.
- Un comptage des succès.
- Base du schéma binomial.
4
Probabilités et formules
Formules essentielles
La moyenne vaut la probabilité du succès, et la dispersion dépend de p.
Repère mental
==E = p, V = p(1-p)==. La variance est maximale près de p=\frac{1}{2}.
5
Modélisation
Méthode
- 1
Choisir l'événement succès.
- 2
Définir la variable X.
Exemple
On lance une pièce équilibrée. On note X=1 si on obtient pile, sinon X=0.
- La situation a deux issues, donc c'est une épreuve de Bernoulli.
- La pièce est équilibrée, donc p=\frac{1}{2}.
- X suit une loi de Bernoulli de paramètre p=\frac{1}{2}.
La loi modélise bien le lancer, avec une probabilité de succès égale à \frac{1}{2}.
6
S'entraîner
Questions
- Définis une épreuve de Bernoulli.
- Donne la loi de X si p=0,3.
- Que vaut E(X) pour une Bernoulli ?
Résumé
- Deux issues : succès ou échec.
- X vaut 1 ou 0.