Loi des grands nombres
Répéter beaucoup une expérience rend la moyenne observée plus stable et plus proche de l’espérance.
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Cadre de départ
Base de travail
Un échantillon est un ensemble de tirages ou d’observations. Sa moyenne empirique résume les valeurs observées.
- Plus l’échantillon est grand, plus la moyenne devient stable.
- Une moyenne observée n’est pas toujours égale à la valeur théorique.
- La loi compare le hasard local à une régularité globale.
Vocabulaire essentiel
- échantillon
- ensemble de résultats observés sur une expérience répétée.
- moyenne empirique
- moyenne calculée à partir des données observées.
- espérance
- valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire.
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Mesurer la dispersion
Espérance et variance
Espérance
- Moyenne théorique.
- Centre de la répartition.
- Valeur de référence.
Variance
- Mesure la dispersion.
- Plus elle est grande, plus les écarts sont forts.
- Elle contrôle la concentration.
Repère numérique
1/npoids de chaque observation dans une moyenne simple
Quand n augmente, chaque tirage influence moins la moyenne.
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Formuler la loi
Énoncé
Quand le nombre d’observations augmente, la moyenne d’échantillon se rapproche de l’espérance.
Idée-clé
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Pourquoi cela marche
Outil de contrôle
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev borne la probabilité d’un écart à l’espérance.
Lecture rapide
| Objet | Rôle |
|---|---|
| Variance | Mesure la dispersion. |
| n | Réduit l’effet des fluctuations. |
| Borne | Montre une concentration croissante. |
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Interpréter en situation
Traduction concrète
On répète une même expérience aléatoire un grand nombre de fois et on calcule la moyenne observée.
- On regroupe les résultats dans un échantillon.
- On calcule la moyenne empirique.
- On compare cette moyenne à l’espérance.
La moyenne observée devient plus fiable quand le nombre de répétitions augmente.
À retenir
Pense à un aimant : plus il y a d’observations, plus la moyenne est attirée vers l’espérance.
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Vérifier sa compréhension
Questions flash
- Que représente un échantillon ?
- Quelle grandeur mesure la dispersion ?
- Que dit la loi des grands nombres sur la moyenne ?
Bilan final
- L’échantillon produit une moyenne empirique.
- L’espérance est la valeur théorique de référence.