Probabilités et loi binomiale
Fiche compacte de révision sur les probabilités discrètes et la loi binomiale
1
Schéma de Bernoulli
Reconnaître la situation
Une expérience aléatoire répétée à l’identique, avec deux issues : succès ou échec.
- Épreuves identiques
- Épreuves indépendantes
À repérer
Mémo
S-I-P : succès, indépendance, probabilité constante.
2
Loi binomiale
Formule à connaître
X suit une loi binomiale B(n,p) et compte le nombre de succès sur n épreuves.
Idée du coefficient binomial
\binom{n}{k}
- Choisir k succès parmi n épreuves
- Compte les configurations possibles
p^k(1-p)^{n-k}
- Probabilité d’une configuration donnée
- k succès et n-k échecs
Coefficients binomiaux
- \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
- Symétrie : \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
3
Espérance et probabilités cumulées
Résultats essentiels
| Notion | Expression | Sens |
|---|---|---|
| Espérance | E(X)=np | Nombre moyen de succès |
| Cumulée inférieure | P(X\le k) | Somme des P(X=i) pour i\le k |
| Cumulée supérieure | P(X\ge k) | Complément ou somme |
Pièges fréquents
- Oublier le complément : P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)
- Confondre espérance et valeur forcément observée
4
Calculatrice et méthode
Démarche rapide
- 1
Identifier l’épreuve de Bernoulli.
- 2
Définir clairement la variable X.
Lecture calculatrice
- Choisir la loi binomiale
- Entrer n, p et k correctement
Rappel utile
Termine toujours le calcul par une phrase interprétée dans le contexte.
5
Exemple type bac
Situation-type
On répète n fois une épreuve de Bernoulli de probabilité p de succès. Calculer une probabilité exacte ou cumulée.
- On pose X = nombre de succès.
- On reconnaît X\sim B(n,p).
- On applique P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} ou la calculatrice.
La variable X suit une loi binomiale ; le calcul demandé s’effectue avec la bonne formule ou en mode binomial.
Pratique express
- Que vaut l’espérance d’une loi binomiale B(n,p) ?
- Quelle formule donne P(X=k) ?
À retenir
Résumé
- Schéma de Bernoulli : n répétitions, deux issues, indépendance.
- Loi binomiale : X compte les succès.
- Formule exacte : \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
- Espérance : E(X)=np.