Produit scalaire dans l’espace
Calculer des angles, tester l’orthogonalité et étudier droites et plans dans l’espace.
Définition et lecture
Idée clé
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui mesure leur relation géométrique.
- \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)
- Si \vec u\cdot\vec v = 0, alors les vecteurs sont orthogonaux.
- Le signe indique un angle aigu ou obtus.
Mémo rapide
Pense à une lampe : plus l’angle est droit, plus le produit scalaire tombe à zéro.
Calcul par coordonnées
Formule de calcul
On multiplie les coordonnées de même rang puis on additionne. La formule reste valable dans une base
À retenir
Bon réflexe
- Écrire les coordonnées des vecteurs.
- Calculer terme à terme.
- Vérifier le signe de chaque produit.
!!Pièges!!
- Confondre point et vecteur.
- Oublier une coordonnée.
- Additionner sans multiplier d’abord.
Orthogonalité et vecteur normal
Critère d’orthogonalité
- 1
Calculer le produit scalaire des deux vecteurs.
- 2
Conclure à l’orthogonalité si le résultat vaut
Vecteur normal
Définition utile
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
- Il sert à caractériser la direction perpendiculaire au plan.
- Un vecteur normal n’est pas un vecteur du plan.
Plans et équations
Équation d’un plan
Si \vec n(a,b,c) est un vecteur normal du plan, cette équation cartésienne le décrit.
Distance point-plan
On utilise un point M(x_0,y_0,z_0) et le vecteur normal du plan pour mesurer la distance orthogonale.
Méthode
- 1
Repérer un vecteur normal du plan.
- 2
Écrire l’équation cartésienne du plan.
S’entraîner
Questions rapides
- Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- Quelle formule utilise-t-on pour calculer un produit scalaire en coordonnées ?
- Quel rôle joue un vecteur normal dans un plan ?
Mini-bilan
- Le produit scalaire mesure angle et orthogonalité.
- La formule coordonnée permet un calcul direct.