L'idée clé

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels. Son terme de rang $n$ se note $u_n$.

• Explicite : $u_n$ est calculé directement avec $n$.
• Par récurrence : $u_{n+1}$ dépend de $u_n$.
• Toujours repérer le premier rang : $0$ ou $1$.

Le réflexe

E puis R : explicite ou récurrence. Ne confonds jamais le terme $u_n$ avec son indice $n$.

Pièges fréquents

• Adapte la formule si le premier terme est $u_1$.
• Une différence constante indique une suite arithmétique.
• Un quotient constant indique une suite géométrique.

La méthode en 3 étapes

1. 1

   Comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ pour déterminer la variation.

2. 2

   Chercher un majorant, un minorant ou les deux.

3. 3

   Utiliser un théorème ou une limite de référence.

À savoir par cœur

• Croissante et majorée : la suite converge.
• Décroissante et minorée : la suite converge.
• Si $|q| < 1$, alors $q^n$ tend vers $0$.
• Si $q > 1$, alors $q^n$ tend vers $+\infty$.

IHC : la rédaction attendue

1. 1

   Initialisation : vérifier la propriété au premier rang.

2. 2

   Hérédité : supposer $P(n)$ vraie, puis montrer $P(n+1)$.

3. 3

   Conclusion : annoncer les rangs pour lesquels $P(n)$ est vraie.

Attention

L'hypothèse de récurrence n'est pas le résultat. Elle sert uniquement à construire la preuve au rang suivant.

Avant la formule

Compte les termes : de $u_0$ à $u_n$, il y en a $n+1$.

On place 1 000 € à 3 % par an. Le capital suit $u_0=1\,000$ et $u_{n+1}=1{,}03u_n$. Calcule $u_5$.

• La suite est géométrique de raison $q=1{,}03$.
• $u_n=1\,000 \times 1{,}03^n$.
• $u_5=1\,000 \times 1{,}03^5$.

Après 5 ans, le capital vaut environ 1 159,27 €.

Résumé express

• Addition constante : arithmétique.
• Multiplication constante : géométrique.
• Variation + borne permettent souvent de conclure.
• IHC structure toute preuve par récurrence.