Raisonnement et démonstration
Des données à une conclusion justifiée
Énoncé et conclusion
Repérer les rôles
Un énoncé donne des informations et demande parfois d’établir un résultat.
- Les données sont les informations fournies.
- La conclusion est le résultat à établir.
- Une question indique ce qu’il faut chercher, pas pourquoi c’est vrai.
Conjecture et contre-exemple
Réfuter une affirmation
Affirmation : « Tous les nombres pairs sont multiples de 4. »
- Choisir 2, qui est un nombre pair.
- Constater que 2 n’est pas multiple de 4.
- Vérifier que 2 respecte l’hypothèse.
2 est un contre-exemple : l’affirmation générale est fausse.
À retenir
Plusieurs exemples peuvent conforter une conjecture, mais un contre-exemple la réfute.
Implication et réciproque
Ne pas inverser trop vite
Implication : si P, alors Q
- P est l’hypothèse.
- Q est la conclusion.
- Un carré est un rectangle.
Réciproque : si Q, alors P
- L’hypothèse et la conclusion s’échangent.
- Un rectangle n’est pas toujours un carré.
- L’implication vraie ne rend pas sa réciproque vraie.
Enchaînement logique
Construire une preuve
- 1
Relever les données et la conclusion recherchée.
- 2
Choisir une définition ou propriété adaptée.
- 3
Relier les faits par des étapes justifiées.
Phrase mémo
Chaque étape répond à : « Pourquoi ai-je le droit de l’affirmer ? »
Justifier une construction
Tracer puis démontrer
AB mesure 6 cm. Deux cercles de rayon 4 cm ont pour centres A et B.
- Tracer [AB] de longueur 6 cm.
- Tracer les deux cercles de rayon 4 cm.
- Nommer M et N leurs intersections.
- Tracer la droite (MN).
Comme 0 < AB = 6 < 8, les cercles se coupent en deux points distincts M et N. On a AM = BM = AN = BN = 4 : M et N appartiennent donc à la médiatrice de [AB]. La droite (MN), passant par ces deux points distincts, est cette médiatrice.
À toi de raisonner
Mini-défi
- Dans un énoncé, que désigne la conclusion à établir ?
- Pourquoi tester plusieurs exemples ne prouve-t-il pas une règle générale ?
- Quelle est la réciproque de « Si un nombre est multiple de 4, il est pair » ?
L’essentiel
- Une preuve part des données et justifie chaque étape.
- Une conjecture reste à vérifier ; un contre-exemple réfute une règle générale.