Topologie de ℝ
La topologie de R formalise la proximité, la continuit e9 et la structure des ensembles de r e9els.
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Intervalles et voisinages
Repères de base
Un intervalle relie ordre et proximit e9 dans R.
(a,b),[a,b],]a,b[, semi-ouverts.- Bornes finies ou infinies possibles.
Voisinage
Voisinage
- Contient un intervalle autour du point.
- Peut d e9border du point e9tudi e9.
- Base de la topologie usuelle.
Voisinage r e9duit
- Voisinage sans le centre.
- Utile pour les points d'accumulation.
- Ne pas confondre avec un ouvert.
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Borne sup e9rieure
Le supremum est le plus petit majorant ; il n'appartient pas forc e9ment e0 A.
Rep e8res essentiels
- La borne sup e9rieure est un plus petit majorant.
- La borne inf e9rieure est un plus grand minorant.
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Ouverts, ferm e9s, int e9rieur, adh e9rence
Contraste fondamental
Ensemble ouvert
- Tout point a un voisinage inclus.
- Stable par petites variations.
- L'int e9rieur est lui-m eame ouvert.
Ensemble ferm e9
- Son compl e9mentaire est ouvert.
- Contient ses points limites.
- Ferm e9 n'implique pas ouvert.
Noyau des d e9finitions
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Points d'accumulation
Dans A=(0,1), d e9terminer l'adh e9rence et les points d'accumulation.
- Tout voisinage d'un point de
(0,1)rencontre d'autres points deA. - Les points
0et1sont atteints comme limites. - Les points int e9rieurs restent points d'accumulation.
L'adh e9rence est [0,1], et les points d'accumulation sont ]0,1[\cup\{0,1\}.
M e9mo express
Adh e9rence = ensemble plus ses limites ; int e9rieur = points bien e0 l'abri.
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Compacit e9 et connexite
Propri e9t e9s globales
| Notion | Crit e8re en R | Id e9e-cl e9 |
|---|---|---|
| Compact | Ferm e9 et born e9 | Toute suite admet une sous-suite convergente. |
| Connexe | Intervalle | Pas de coupure en deux morceaux ouverts. |
| D e9connect e9 | Non intervalle | On peut s e9parer l'ensemble. |
Encha eenement
- 1
V e9rifier d'abord la bornitude.
- 2
Tester ensuite la fermeture.
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R e9vision rapide
Entra eenement
- Donner la d e9finition d'un voisinage d'un point.
- Distinguer supremum et maximum.
- Dire si un ouvert est toujours ferm e9.
Synth e8se finale
- Intervalle et voisinage d e9crivent la proximit e9 locale.
- Ouvert, ferm e9, int e9rieur et adh e9rence structurent l'ensemble.