Théorèmes fondamentaux de l’analyse
Cette fiche regroupe les résultats centraux sur les fonctions continues et dérivables en licence 1.
1
Continuité et existence
TVI
Sur un intervalle, une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires.
- Si f(a)f(b)<0, alors une racine existe entre a et b.
- L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Borne atteinte
- Sur un segment fermé borné, une fonction continue admet un maximum et un minimum.
- Les bornes sont réellement prises par la fonction.
Mémo
CIVB : Continue, Intermédiaire, Valeurs, Bornes.
2
Rolle et variation moyenne
Rolle
Hypothèses
- f continue sur [a,b]
- f dérivable sur (a,b)
- f(a)=f(b)
Conclusion
- Il existe c dans (a,b).
- f'(c)=0.
- La tangente est horizontale.
Accroissements finis
La dérivée en un point égalise la pente moyenne de la corde.
Image mentale
Rolle est le cas particulier où la corde est horizontale.
3
Inégalités et contrôle
Majoration des variations
- 1
Encadrer f' sur l’intervalle.
- 2
Appliquer les accroissements finis.
Encadrement
Soit f continue sur [a,b] et dérivable sur (a,b), avec |f'(x)|\le M sur l’intervalle. Que peut-on conclure ?
- Par les accroissements finis, il existe c avec f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
- Donc |f(b)-f(a)|=|f'(c)|\,|b-a|.
- Comme |f'(c)|\le M, on obtient |f(b)-f(a)|\le M|b-a|.
La fonction est Lipschitz de constante M sur l’intervalle.
Piège
Borner f' ne borne pas f directement ; cela borne ses variations.
4
Sens de variation
Monotonie
| Signe de f' | Conclusion |
|---|---|
| f'\ge 0 | f croissante |
| f'\le 0 | f décroissante |
| f'>0 | f strictement croissante |
Lecture rapide
Mémo
2dérivées utiles
f' règle la direction, f'' règle la forme.
5
Convexité et encadrements
Convexité
Si f''\ge 0
- La fonction est convexe.
- La tangente est sous la courbe.
- On obtient des encadrements utiles.
Si f''\le 0
- La fonction est concave.
- La tangente est au-dessus de la courbe.
- L’encadrement s’inverse.
Contraste
À retenir
- Continuité assure existence, valeurs intermédiaires et bornes atteintes.
- Rolle et accroissements finis relient variation globale et dérivée.
- Inégalités sur f' donnent des contrôles quantitatifs et des majorations.
- Signe de f' donne la monotonie, signe de f'' donne la convexité.