Suites de fonctions
Suites et séries de fonctions
1
Deux convergences à ne pas confondre
Idée centrale
Convergence simple
- Pour chaque x fixé.
- La limite peut dépendre de x.
- Contrôle point par point.
Convergence uniforme
- Un même contrôle pour tout x.
- Erreur maximale sur l’ensemble.
- La vitesse ne dépend pas de x.
À retenir
Uniforme = un seul écart pour tout le monde.
2
Norme sup
Critère pratique
La convergence uniforme devient un calcul de norme globale sur le domaine.
Lecture rapide
- Le sup mesure l’erreur maximale.
- La borne doit être finie.
3
Passage à la limite
Continuité, intégration, dérivation
Si la convergence est uniforme
- La limite de continues est continue.
- On peut intégrer terme à terme sur un segment.
- On peut dériver sous hypothèses adaptées.
Si la convergence est seulement simple
- Rien n’est automatique.
- La continuité peut se perdre.
- Dériver ou intégrer demande une justification.
Piège fréquent
Une convergence simple ne suffit pas pour passer à la limite dans les opérations usuelles.
4
Séries de fonctions
Lecture par sommes partielles
Point clé
- Une série de fonctions est une suite de sommes partielles.
- Étudier la série revient à étudier ces sommes.
5
Rayon de convergence
Séries entières
| Zone | Comportement |
|---|---|
| |x-a| < R | Convergence en général. |
| |x-a| > R | Divergence. |
| |x-a| = R | Étude séparée nécessaire. |
Mémo
Sommes partielles, puis rayon, puis prudence au bord.
6
S’entraîner
Questions rapides
- Énoncer la différence entre convergence simple et uniforme.
- Dire pourquoi la norme sup est adaptée à la convergence uniforme.
- Citer une opération préservée par convergence uniforme.
Résumé
- La convergence uniforme contrôle l’erreur sur tout l’ensemble.
- Elle préserve mieux les opérations limites que la convergence simple.